Determine os pontos de continuidade de:
F(x, y)=cl(x^3 y^23, x yx^2+x y+y^2), & se (x, y) neq(0,0) (0,0) & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função vetorial
Queremos determinar em que pontos de (\mathbb{R}^2] essa função é contínua.

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então
  1. a primeira componente F1(x,y)=tfracx^3y^23 é polinomial, logo contínua em todo R^2;
  2. a segunda componente
F2(x,y)=xyx^2+xy+y^2
é quociente de polinômios. Note que o denominador
x^2+xy+y^2
é uma forma quadrática definida positiva: seu discriminante é De<a=1-4<0, logo x^2+xy+y^2>0 para todo (x,y)neq(0,0). Portanto F2 é contínua em R^2setminus(0,0). Concluímos que F é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0) precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)F(x,y)
existe e coincide com F(0,0)=(0,0).
– Para a primeira componente,
lim(x,y)to(0,0)x^3y^23=0
pois l|x^3y^2r|<= |(x,y)|^5to0.
– Para a segunda componente, analisemos duas retas:
  • Se y=0, então
    tfracxyx^2+xy+y^2=0.
  • Se y=x (com xneq0), então xyx^2+xy+y^2 =x^23x^2=13
Como alongos trajetórias obtivemos limites diferentes ( 0 e 1/3), não há limite único para F2(x,y) quando (x,y)to(0,0). Logo F é descontínua em (0,0).

Resposta

F é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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