- Identifique a região do
descrita em coordenadas esféricas por:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para identificar, no espaço
, as superfícies (ou regiões) definidas em coordenadas esféricas pelos vários enunciados: vamos usar a matéria de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas e, em seguida, reconhecer quais superfícies ou regiões no espaço essas equações representam.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos a conversão padrão:
Além disso, notamos que
e
.
Passo 3
(a)
.
Como , a equação vira
Como
Isto é a esfera de raio
centrada em
.
Passo 4
(b)
.
Como , multiplica-se por
:
Como
Isto é o cilindro circular de raio
em torno do eixo
.
Passo 5
(c)
.
Manter fixo significa tomar todos os pontos cuja projeção no plano
faz ângulo
com o eixo
. Em cartesianas:
Manter
É o plano que passa pelo eixo
e forma ângulo
com o semieixo
.
Passo 6
(d)
.
Mas em coordenadas esféricas . Não existe
com
.
Logo, não há pontos que satisfaçam essa condição (conjunto vazio).
Mas em coordenadas esféricas
Logo, não há pontos que satisfaçam essa condição (conjunto vazio).
Passo 7
(e)
.
Fixar gera um cone duplo (superfície cônica) de semi-ângulo
em torno do eixo
. Em cartesianas:
Fixar
Passo 8
(f)
.
Fatorando,
Fatorando,
Isto corresponde ao ponto origem (
) e à esfera de raio
centrada na origem (
).
Resposta
(a) Esfera de centro
e raio
.
(b) Cilindro de raio ao redor do eixo
.
(c) Plano (plano que contém o eixo
e faz
).
(d) Conjunto vazio.
(e) Cone de semi-ângulo em torno do eixo
, dado por
.
(f) Origem (ponto) e esfera de raio centrada na origem.
(b) Cilindro de raio
(c) Plano
(d) Conjunto vazio.
(e) Cone de semi-ângulo
(f) Origem (ponto) e esfera de raio