1. Identifique a região do R^3 descrita em coordenadas esféricas por:
    (a) rho=6 cos theta sen varphi
    (b) rho=5 cosec varphi
    (c) theta=pi / 6
    (d) cos varphi=4
    (e) varphi=pi / 4
    (f) rho^2-3 rho=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar, no espaço R^3, as superfícies (ou regiões) definidas em coordenadas esféricas pelos vários enunciados: vamos usar a matéria de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas e, em seguida, reconhecer quais superfícies ou regiões no espaço essas equações representam.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos a conversão padrão:
x = rho,sinvarphi,costheta,
y = rho,sinvarphi,sintheta,
z = rho,cosvarphi
Além disso, notamos que sinvarphi,costheta = x/rho e rhosinvarphi = raizx^2+y^2.

Passo 3

(a) rho = 6costheta,senvarphi.
Como costheta,senvarphi = x/rho, a equação vira
rho = 6xrho ;Longrightarrow; rho^2 = 6x ;Longrightarrow; x^2 + y^2 + z^2 = 6x ;Longrightarrow; (x-3)^2 + y^2 + z^2 = 9
Isto é a esfera de raio 3 centrada em (3,0,0).

Passo 4

(b) rho = 5,cosecvarphi.
Como cosecvarphi = 1/sinvarphi, multiplica-se por sinvarphi:
rhosinvarphi = 5 ;Longrightarrow; raizx^2+y^2 = 5
Isto é o cilindro circular de raio 5 em torno do eixo z.

Passo 5

(c) theta = pi/6.
Manter theta fixo significa tomar todos os pontos cuja projeção no plano xy faz ângulo pi/6 com o eixo x. Em cartesianas:
tantheta = yx = tanl(pi/6r) = 1raiz3 ;Longrightarrow; y = xraiz3
É o plano que passa pelo eixo z e forma ângulo pi/6 com o semieixo x.

Passo 6

(d) cosvarphi = 4.
Mas em coordenadas esféricas cosvarphi = z/rhoin[-1,1]. Não existe varphi com cosvarphi=4.
Logo, não há pontos que satisfaçam essa condição (conjunto vazio).

Passo 7

(e) varphi = pi/4.
Fixar varphi gera um cone duplo (superfície cônica) de semi-ângulo pi/4 em torno do eixo z. Em cartesianas:
tanvarphi = raizx^2+y^2z = tanl(pi/4r) = 1 ;Longrightarrow; z = raizx^2+y^2

Passo 8

(f) rho^2 - 3rho = 0.
Fatorando,
rho(rho-3)=0 ;Longrightarrow; rho=0ourho=3
Isto corresponde ao ponto origem ( rho=0) e à esfera de raio 3 centrada na origem ( rho=3).

Resposta

(a) Esfera de centro (3,0,0) e raio 3.
(b) Cilindro de raio 5 ao redor do eixo z.
(c) Plano y = x/raiz3 (plano que contém o eixo z e faz theta=pi/6).
(d) Conjunto vazio.
(e) Cone de semi-ângulo pi/4 em torno do eixo z, dado por z=raizx^2+y^2.
(f) Origem (ponto) e esfera de raio 3 centrada na origem.

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