Determine os pontos críticos de.
Passo 1
Temos a função
. O que queremos é encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde o gradiente de
é zero. Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais, usar a regra do produto e a derivada de uma exponencial.
Passo 2
Vamos primeiro calcular
. Usando a regra do produto em
e
, temos:
Reagrupando,
Passo 3
De modo análogo, para
aplicamos a regra do produto:
Passo 4
Para achar os pontos críticos, igualamos o gradiente a zero. Como
nunca é zero, basta resolver o sistema:
Isso gera as condições:
-
ou , -
ou .
Analisando os casos combinados, a única solução comum às duas equações sem contradição é:
Passo 5
Soluções:
- Se
e obtemos o ponto . - Se
e vem , dando . - Se
e vem , dando .
O casojunto com não tem solução.
Passo 6
Reunindo tudo, os pontos críticos de
são
.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0), (√2,0), (−√2,0), (0,√2) e (0,−√2).