Determine os pontos críticos de.
f(x, y)=(x^2-y^2) e^-x^2+y^22

Passo 1

Temos a função f(x,y)=(x^2-y^2)e^-x^2+y^22. O que queremos é encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde o gradiente de f é zero. Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais, usar a regra do produto e a derivada de uma exponencial.

Passo 2

Vamos primeiro calcular partial fpartial x. Usando a regra do produto em g(x,y)=x^2-y^2 e h(x,y)=e^-x^2+y^22, temos:
partial fpartial x=partial gpartial x,h+g,partial hpartial x=2x,h+(x^2-y^2)l(-x,hr)
Reagrupando,
partial fpartial x=xl(2-(x^2-y^2)r)e^-x^2+y^22

Passo 3

De modo análogo, para partial fpartial y aplicamos a regra do produto:
partial fpartial y=(-2y),h+(x^2-y^2)l(-y,hr)=-yl(2+(x^2-y^2)r)e^-x^2+y^22

Passo 4

Para achar os pontos críticos, igualamos o gradiente a zero. Como e^-x^2+y^22>0 nunca é zero, basta resolver o sistema:
xl(2-(x^2-y^2)r)=0, -yl(2+(x^2-y^2)r)=0
Isso gera as condições:
  1. x=0 ou x^2-y^2=2,
  2. y=0 ou x^2-y^2=-2.
    Analisando os casos combinados, a única solução comum às duas equações sem contradição é:

Passo 5

Soluções:
  • Se x=0 e y=0 obtemos o ponto (0,0).
  • Se x=0 e x^2-y^2=-2 vem y=pmraiz2, dando (0,pmraiz2).
  • Se y=0 e x^2-y^2=2 vem x=pmraiz2, dando (pmraiz2,0).
    O caso x^2-y^2=2 junto com x^2-y^2=-2 não tem solução.

Passo 6

Reunindo tudo, os pontos críticos de f são
(0,0),; (raiz2,0),;(-raiz2,0),;(0,raiz2),;(0,-raiz2).

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), (√2,0), (−√2,0), (0,√2) e (0,−√2).

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