Determine os pontos críticos de.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os pontos críticos da função $ h(x, y) = \frac{1}{x} - \frac{64}{y} + x y $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função se comporta em diferentes direções. Para achar os pontos críticos, precisamos encontrar onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $:
Queremos que essa derivada seja igual a zero, então temos:
Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante:
Também queremos que essa derivada seja igual a zero:
Ou seja:
Passo 4
Temos agora um sistema de duas equações:
Vamos substituir a expressão de $ y $ da primeira equação na segunda:
Então:
Passo 5
Vamos resolver a equação $ x = 64 x^4 $:
Fatorando:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $ → Mas se $ x = 0 $, a função $ h(x, y) $ não está definida porque teríamos divisão por zero. Então descartamos essa solução.
- $ 64 x^3 - 1 = 0 $ → $ x^3 = \frac{1}{64} $ → $ x = \frac{1}{4} $
Passo 6
Agora que temos $ x = \frac{1}{4} $, vamos encontrar $ y $ usando a relação $ y = \frac{1}{x^2} $:
Resposta
O ponto crítico da função $ h(x, y) = \frac{1}{x} - \frac{64}{y} + x y $ é $ \left(\frac{1}{4}, 16\right) $.