Determine os pontos críticos de.
h(x, y)=1x-64y+x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os pontos críticos da função $ h(x, y) = \frac{1}{x} - \frac{64}{y} + x y $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função se comporta em diferentes direções. Para achar os pontos críticos, precisamos encontrar onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $:
h
Queremos que essa derivada seja igual a zero, então temos:
x
Ou seja:
y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante:
h
Também queremos que essa derivada seja igual a zero:
y
Ou seja:
x

Passo 4

Temos agora um sistema de duas equações:
y = 1x^2
x = 64y^2
Vamos substituir a expressão de $ y $ da primeira equação na segunda:
y
Então:
x = 64(1x^2)^2 = 641x^4 = 64 x^4

Passo 5

Vamos resolver a equação $ x = 64 x^4 $:
x = 64 x^4
Fatorando:
64 x^4 - x = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $ → Mas se $ x = 0 $, a função $ h(x, y) $ não está definida porque teríamos divisão por zero. Então descartamos essa solução.
  2. $ 64 x^3 - 1 = 0 $ → $ x^3 = \frac{1}{64} $ → $ x = \frac{1}{4} $

Passo 6

Agora que temos $ x = \frac{1}{4} $, vamos encontrar $ y $ usando a relação $ y = \frac{1}{x^2} $:
x = 14

Resposta

O ponto crítico da função $ h(x, y) = \frac{1}{x} - \frac{64}{y} + x y $ é $ \left(\frac{1}{4}, 16\right) $.

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