Suponha que existe r>0 tal que f(x) >= 0 para 0<|x-p| e que lim x p f(x)=L. Prov que L >= 0.
(Sugestão: Suponha L<0 e use a conservação do sinal.)

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, se existe algum raio r>0 tal que f(x)>=0 sempre que 0<|x-p| e ainda limxto pf(x)=L, então obrigatoriamente L>=0. O conteúdo aqui é a definição de limite e conservação de sinal de funções próximas ao ponto de limite.

Passo 2

Vamos provar por contradição. Suponha que L<0. Então definimos um varepsilon>0 que explore essa negatividade, por exemplo:
varepsilon = -tfracL2,
que é positivo já que L<0.

Passo 3

Pela definição de limite temos que existe de0 tal que sempre que
0<|x-p|
então
|f(x)-L|

Passo 4

Dessa desigualdade segue que
f(x)-L < |f(x)-L| < varepsilon = -tfracL2
o que implica
f(x) < L - tfracL2 = tfracL2 < 0
Mas, por hipótese, para todo x com 0<|x-p| temos f(x)>=0. Portanto, tomando
de
em 0<|x-p| teríamos simultaneamente f(x)>=0 e f(x)<0, o que é absurdo.

Passo 5

Como a suposição L<0 leva a contradição, concluímos que não pode ocorrer L<0. Logo, necessariamente L>=0.

Resposta

L>=0

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