Suponha que existe
tal que
para
e que
. Prov que
.
(Sugestão: Suponha
use a conservação do sinal.)
(Sugestão: Suponha
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, se existe algum raio
tal que
sempre que
e ainda
, então obrigatoriamente
. O conteúdo aqui é a definição de limite e conservação de sinal de funções próximas ao ponto de limite.
Passo 2
Vamos provar por contradição. Suponha que
. Então definimos um
que explore essa negatividade, por exemplo:
que é positivo já que
.
Passo 3
Pela definição de limite temos que existe
tal que sempre que
então
Passo 4
Dessa desigualdade segue que
o que implica
Mas, por hipótese, para todo
com
temos
. Portanto, tomando
em
teríamos simultaneamente
e
, o que é absurdo.
Passo 5
Como a suposição
leva a contradição, concluímos que não pode ocorrer
. Logo, necessariamente
.