Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
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Passo 1
Vamos resolver a questão em quatro etapas principais: 1) resumo do problema e materiais necessários; 2) cálculo das derivadas parciais e sistema de equações críticas; 3) solução do sistema para obter os pontos críticos; 4) cálculo da matriz Hessiana e classificação de cada ponto.
Passo 2
Temos a função f(x,y)=(x²−y²)e^{−(x²+y²)/2}. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiras para achar os pontos críticos e depois usar a Hessiana para classificá-los.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais. Chamando r²=x²+y² e E=e^{−r²/2}, obtemos
Os pontos críticos satisfazem f_x=0 e f_y=0, ou seja x=0 ou 2−x²+y²=0, e y=0 ou y²−x²−2=0.
Passo 4
Resolvendo o sistema:
- Se x=0 e y=0 → ponto (0,0).
- Se x=0 e y²−0−2=0 → y=±√2 → pontos (0,±√2).
- Se y=0 e 2−x²+0=0 → x=±√2 → pontos (±√2,0).
Não há solução na intersecção das equações quadráticas simultâneas.
Passo 5
Agora vamos à Hessiana. As segundas derivadas gerais são:
Avaliando em cada ponto e calculando D=f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})², classificamos:
Passo 6
No ponto (0,0): E=1, f_{xx}=2, f_{yy}=−2, f_{xy}=0 → D=−4<0 → sela.
Passo 7
Nos pontos (0,±√2): E=e^{−1}, f_{xx}=4e^{−1}, f_{yy}=4e^{−1}, f_{xy}=0 → D=16e^{−2}>0 e f_{xx}>0 → mínimos.
Passo 8
Nos pontos (±√2,0): E=e^{−1}, f_{xx}=−4e^{−1}, f_{yy}=−4e^{−1}, f_{xy}=0 → D=16e^{−2}>0 e f_{xx}<0 → máximos.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(0,0) → ponto de sela;
(0,±√2) → mínimos locais;
(±√2,0) → máximos locais.
(0,0) → ponto de sela;
(0,±√2) → mínimos locais;
(±√2,0) → máximos locais.