Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
f(x, y)=(x^2-y^2) e^-x^2+y^22.

Passo 1

Vamos resolver a questão em quatro etapas principais: 1) resumo do problema e materiais necessários; 2) cálculo das derivadas parciais e sistema de equações críticas; 3) solução do sistema para obter os pontos críticos; 4) cálculo da matriz Hessiana e classificação de cada ponto.

Passo 2

Temos a função f(x,y)=(x²−y²)e^{−(x²+y²)/2}. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiras para achar os pontos críticos e depois usar a Hessiana para classificá-los.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais. Chamando r²=x²+y² e E=e^{−r²/2}, obtemos
fx=E,x,(2−x²+y²), ²²
fy=E,y,(y²−x²−2) ²²
Os pontos críticos satisfazem f_x=0 e f_y=0, ou seja x=0 ou 2−x²+y²=0, e y=0 ou y²−x²−2=0.

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Se x=0 e y=0 → ponto (0,0).
  • Se x=0 e y²−0−2=0 → y=±√2 → pontos (0,±√2).
  • Se y=0 e 2−x²+0=0 → x=±√2 → pontos (±√2,0).
    Não há solução na intersecção das equações quadráticas simultâneas.

Passo 5

Agora vamos à Hessiana. As segundas derivadas gerais são:
fxx=E,(x^4−x^2y^2−5x^2+y^2+2),
fyy=E,(−y^4+x^2y^2+5y^2−x^2−2),
fxy=E,x y(x^2−y^2)
Avaliando em cada ponto e calculando D=f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})², classificamos:

Passo 6

No ponto (0,0): E=1, f_{xx}=2, f_{yy}=−2, f_{xy}=0 → D=−4<0 → sela.

Passo 7

Nos pontos (0,±√2): E=e^{−1}, f_{xx}=4e^{−1}, f_{yy}=4e^{−1}, f_{xy}=0 → D=16e^{−2}>0 e f_{xx}>0 → mínimos.

Passo 8

Nos pontos (±√2,0): E=e^{−1}, f_{xx}=−4e^{−1}, f_{yy}=−4e^{−1}, f_{xy}=0 → D=16e^{−2}>0 e f_{xx}<0 → máximos.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0) → ponto de sela;
(0,±√2) → mínimos locais;
(±√2,0) → máximos locais.

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