A relação entre uma função e sua função marginal corresponde pode ser estudada com base na derivação e integração. Quando temos uma função f(x) e sua função marginal f^prime(x) podemos recuperar a função original a partir de sua derivada por meio do processo de integração.
Nesse sentido, suponha que a receita marginal de uma determinada empresa de produtos agrícolas é representada pela seguinte função: R^prime(x)=-3 x^2+1200, em que x corresponde a unidade do produto vendido.
Nessa empresa o diretor geral deseja saber a variação total da função receita considerando o intervalo entre nenhum produto vendido (x=0) e o décimo (x=10) produto vendido.
Assinale a alternativa que forneça a variação total solicitada:
A. R .
B. R B R .
C. R$ 9000,00.
D. 15000,00
E. R$ 13000,00.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre a relação entre uma função de receita e sua função marginal . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente integrais, para descobrir como a receita total muda quando vendemos de 0 a 10 produtos. Precisamos integrar a função marginal para encontrar essa variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função marginal. A função marginal nos diz quanto a receita está mudando a cada unidade extra vendida. Para encontrar a variação total da receita entre 0 e 10 produtos, precisamos integrar essa função marginal no intervalo de 0 a 10.

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral0^10 (-3x^2 + 1200) , dx de 0 a 10. A integral nos dá a área sob a curva da função marginal, que representa a variação total da receita.

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integrar integral -3x^2 , dx = -x^3 : integral 1200 , dx = 1200x
  2. Integrar -x^3 + 1200x :
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão de 0 a 10:
[ -10^3 + 1200 times 10 ] - [ -0^3 + 1200 times 0 ] = (-1000 + 12000) - (0 + 0) = 11000

Resposta

A variação total da receita é R$ 11.000,00.

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