Determine os pontos críticos e classifique-os:
g(x)=x^3-6 x^2+9 x

Passo 1

A função dada é g(x)=x^3-6x^2+9x. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas e classificação de pontos críticos, então vamos precisar calcular g'(x), encontrar onde ela zera e usar g''(x) para classificar máximo ou mínimo local.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, primeiro derivamos g(x):
g'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)

Passo 3

Igualando g'(x)=0 obtemos as raízes x=1 e x=3. Esses são candidatos a pontos críticos. Agora calculamos os valores da função nesses pontos:
g(1)=1-6+9=4,
g(3)=27-54+27=0
Logo, os pontos críticos são (1,4) e (3,0).

Passo 4

Para classificar cada ponto usamos o teste da segunda derivada. Derivando novamente:
g''(x)=6x-12
Em x=1: g''(1)=6-12=-6<0, indica máximo local.
Em x=3: g''(3)=18-12=6>0, indica mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são (1,4) como máximo local e (3,0) como mínimo local.

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