Nos ExercГӯcios 1-6, use a regra de l’HГҙpital para calcular o limite. Em seguida,calcule o limite usando um dos mГ©todos estudados no inГӯcio de nosso curso. O que Г© melhor: calcular usando L’Hopital, ou do jeito antigo?
lim x infty 5 x^2-3 x7 x^2+1

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite
limxtoinfty5x^2-3x7x^2+1
usando primeiro a regra de L’Hôpital e depois um método “antigo” (dividir pelo maior grau). O conteúdo aqui é limite de função racional e vamos precisar conhecer a condição para aplicar L’Hôpital (forma indeterminada tfracinftyinfty) e também o truque de dividir numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Verificamos que, quando xtoinfty, tanto o numerador quanto o denominador vão a infinito, gerando a forma indeterminada tfracinftyinfty. Podemos então aplicar L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador:
ddx(5x^2-3x)=10x-3,
ddx(7x^2+1)=14x
O limite se transforma em
limxtoinfty10x-314x

Passo 3

No novo limite, tanto numerador quanto denominador ainda crescem como x, mas podemos simplificar dividindo tudo por x:
10x-314x= rac10-3/x14
Como xtoinfty, temos 3/xto0 e portanto o valor tende a
1014= rac57

Passo 4

Agora o método “antigo”: basta dividir numerador e denominador por x^2, a maior potência que aparece:
5x^2-3x7x^2+1= rac5-3/x7+1/x^2
Quando xtoinfty, as parcelas 3/x e 1/x^2 vão a zero, restando
57

Passo 5

Ambas as técnicas dão o mesmo resultado, 5/7. No entanto, para limites de funções racionais simples, a divisão pelo maior grau geralmente é mais rápida e direta do que aplicar L’Hôpital.“Noite” economiza derivadas e já entrega o resultado no mesmo passo.

Resposta

O limite é 5/7, e para esse tipo de função racional o método tradicional (dividir pelo maior grau) é mais prático do que usar L’Hôpital.

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