Nos ExercГӯcios 1-6, use a regra de l’HГҙpital para calcular o limite. Em seguida,calcule o limite usando um dos mГ©todos estudados no inГӯcio de nosso curso. O que Г© melhor: calcular usando L’Hopital, ou do jeito antigo?
Passo 1
O exercício pede para calcular o limite
usando primeiro a regra de L’Hôpital e depois um método “antigo” (dividir pelo maior grau). O conteúdo aqui é limite de função racional e vamos precisar conhecer a condição para aplicar L’Hôpital (forma indeterminada
) e também o truque de dividir numerador e denominador pela maior potência de
.
Passo 2
Verificamos que, quando
, tanto o numerador quanto o denominador vão a infinito, gerando a forma indeterminada
. Podemos então aplicar L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador:
O limite se transforma em
Passo 3
No novo limite, tanto numerador quanto denominador ainda crescem como
, mas podemos simplificar dividindo tudo por
:
Como
, temos
e portanto o valor tende a
Passo 4
Agora o método “antigo”: basta dividir numerador e denominador por
, a maior potência que aparece:
Quando
, as parcelas
e
vão a zero, restando
Passo 5
Ambas as técnicas dão o mesmo resultado,
. No entanto, para limites de funções racionais simples, a divisão pelo maior grau geralmente é mais rápida e direta do que aplicar L’Hôpital.“Noite” economiza derivadas e já entrega o resultado no mesmo passo.
Resposta
O limite é
, e para esse tipo de função racional o método tradicional (dividir pelo maior grau) é mais prático do que usar L’Hôpital.