Explique a razão pela qual as seguintes funções são descontínuas nos pontos indicados:
Passo 1
Temos a função definida por partes: para x≠1 vale
e em x=1 vale
. O assunto aqui é continuidade de funções em um ponto e vamos precisar usar a definição de continuidade e calcular o limite de
quando
para comparar com o valor
.
Passo 2
Para verificar continuidade em
, recordamos que
é contínua em
se e somente se existir
e este limite for igual a
.
Como a parte para é um quociente, simplificamos
. Note que
e
, então para
temos:
Como a parte para
Passo 3
Agora calculamos o limite usando a forma simplificada:
Passo 4
Comparando o limite com o valor da função em 1, vemos que
difere de
. Assim, a definição de continuidade falha, e há descontinuidade em
.
Resposta
A descontinuidade ocorre porque
não coincide com
, caracterizando uma descontinuidade removível.