Explique a razão pela qual as seguintes funções são descontínuas nos pontos indicados:

Passo 1

Temos a função definida por partes: para x≠1 vale f(x)=x^2-xx^2-1 e em x=1 vale f(1)=1. O assunto aqui é continuidade de funções em um ponto e vamos precisar usar a definição de continuidade e calcular o limite de f(x) quando xto1 para comparar com o valor f(1).

Passo 2

Para verificar continuidade em p=1, recordamos que f é contínua em x=1 se e somente se existir limxto1f(x) e este limite for igual a f(1).
Como a parte para xneq1 é um quociente, simplificamos x^2-xx^2-1. Note que x^2-x=x(x-1) e x^2-1=(x-1)(x+1), então para xneq1 temos:
x^2-xx^2-1=x(x-1)(x-1)(x+1)=xx+1

Passo 3

Agora calculamos o limite usando a forma simplificada: limxto1f(x)=limxto1xx+1=11+1=12

Passo 4

Comparando o limite com o valor da função em 1, vemos que limxto1f(x)=1/2 difere de f(1)=1. Assim, a definição de continuidade falha, e há descontinuidade em x=1.

Resposta

A descontinuidade ocorre porque limxto1f(x)=1/2 não coincide com f(1)=1, caracterizando uma descontinuidade removível.

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