Nos ExercГӯcios 1-6, use a regra de l’HГҙpital para calcular o limite. Em seguida,calcule o limite usando um dos mГ©todos estudados no inГӯcio de nosso curso. O que Г© melhor: calcular usando L’Hopital, ou do jeito antigo?
lim x 1 x^3-14 x^3-x-3

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular limxto1x^3-14x^3 - x - 3 usando primeiro a regra de L’Hôpital e depois um método clássico (fatoração de polinômios).

Passo 2

Verificação de indeterminação: substituindo diretamente x=1 temos numerador 1^3-1=0 e denominador 4cdot1^3 -1 -3=0, ou seja, forma indeterminada 0/0, então podemos usar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicação de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x. Derivada do numerador é 3x^2 e do denominador é 12x^2 - 1. Logo
limxto1x^3-14x^3 - x - 3 = limxto13x^212x^2 - 1 = 3cdot1^212cdot1^2 - 1 = 311

Passo 4

Método clássico (fatoração): fatoramos cada polinômio extraindo o fator x-1.
x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1),
4x^3 - x - 3 = (x-1)(4x^2 + 4x + 3)

Passo 5

Cancelando x-1 e avaliando em x=1 obtemos
limxto1(x-1)(x^2+x+1)(x-1)(4x^2+4x+3) = limxto1x^2+x+14x^2+4x+3 = 1+1+14+4+3 = 311

Passo 6

Comparação dos métodos: para polinômios simples o método clássico (fatoração) é mais direto e rápido, pois evita cálculo de derivadas. L’Hôpital funciona bem e é sistemático, mas às vezes dá mais trabalho.

Resposta

O limite é tfrac311, e para este caso o método clássico de fatoração é mais simples.

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