Determine os pontos críticos e classifique-os:
z=x^4+y^4-2 x^2-2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2
O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais para encontrar o gradiente, e teste da matriz Hessiana para classificação (mínimo, máximo ou ponto de sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx = partial fpartial x = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1),
fy = partial fpartial y = 4y^3 - 4y = 4y(y^2 - 1)
Para pontos críticos, impomos
fx = 0, fy = 0

Passo 3

Das equações 4x(x^2-1)=0 e 4y(y^2-1)=0 seguem
xin0,pm1, yin0,pm1
Logo os nove pontos críticos são
(0,0),;(1,0),;(-1,0),;(0,1),;(0,-1),;(1,1),;(1,-1),;(-1,1),;(-1,-1)

Passo 4

A matriz Hessiana de f é
H(x,y)= fxx & fxy fyx & fyy
com
fxx = 12x^2 - 4, fyy = 12y^2 - 4, fxy = fyx = 0
Definimos os menores principais
D1 = fxx, D2 = det H = fxx,fyy
O critério de classificação é:
  • Se D2>0 e D1>0, ponto de mínimo.
  • Se D2>0 e D1<0, ponto de máximo.
  • Se D2<0, ponto de sela.

Passo 5

Avaliando em cada tipo de ponto:
  1. Em (0,0): fxx = -4, fyy=-4 Longrightarrow D1=-4<0,;D2 = (-4)(-4)=16>0 logo máximo local.
  2. Em (pm1,pm1): fxx=12cdot1-4=8, fyy=8 Longrightarrow D1=8>0,;D2=8cdot8=64>0 logo mínimo local.
  3. Em (pm1,0) ou (0,pm1):
    num caso, um dos fxx ou fyy vale -4 e o outro vale 8, então D2 = (8)(-4) = -32 <0, configurando ponto de sela.

Resposta

(0,0) é máximo local.
(±1,±1) são mínimos locais.
(±1,0) e (0,±1) são pontos de sela.

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