Determine os pontos críticos e classifique-os:
.
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais para encontrar o gradiente, e teste da matriz Hessiana para classificação (mínimo, máximo ou ponto de sela).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Para pontos críticos, impomos
Passo 3
Das equações
e
seguem
Logo os nove pontos críticos são
Passo 4
A matriz Hessiana de
é
com
Definimos os menores principais
O critério de classificação é:
- Se
e , ponto de mínimo. - Se
e , ponto de máximo. - Se
, ponto de sela.
Passo 5
Avaliando em cada tipo de ponto:
- Em
: logo máximo local. - Em
: logo mínimo local. - Em
ou :
num caso, um dosou vale e o outro vale , então configurando ponto de sela.
Resposta
(0,0) é máximo local.
(±1,±1) são mínimos locais.
(±1,0) e (0,±1) são pontos de sela.
(±1,±1) são mínimos locais.
(±1,0) e (0,±1) são pontos de sela.