Determine os pontos críticos e classifique-os:
z=x^2-4 x y+y^3+4 y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
z = x^2 - 4xy + y^3 + 4y
e classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela). Vamos usar o método do gradiente (zerar as derivadas parciais) para achar os pontos críticos e o teste da matriz Hessiana (determinante das segundas derivadas) para a classificação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z=f(x,y):
partial zpartial x =2x-4y, partial zpartial y =-4x+3y^2+4

Passo 3

Para pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero:
2x-4y=0 Longrightarrow x=2y,
-4x+3y^2+4=0
Substituindo x=2y na segunda equação:
-4,(2y)+3y^2+4=0 Longrightarrow 3y^2-8y+4=0
Resolvendo essa quadrática,
De<a =(-8)^2-4cdot3cdot4=64-48=16,
y=8pm46implies y=2ou y=tfrac23
Logo
(x,y)=(4,2) e (x,y)=l(tfrac43,tfrac23r)

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
fxx=2, fyy=6y, fxy=fyx=-4
O determinante é
D(x,y) =fxx,fyy-(fxy)^2 =2cdot(6y)-(-4)^2 =12y-16

Passo 5

Avaliamos D e fxx em cada ponto:
Para (4,2):
D(4,2)=12cdot2-16=24-16=8>0, fxx=2>0 ;;Longrightarrow;; mínimo local í
Para l(tfrac43,tfrac23r):
Dl(tfrac43,tfrac23r) =12cdottfrac23-16=8-16=-8<0 ;;Longrightarrow;; ponto de sela

Resposta

(4,2) é mínimo local.
l(tfrac43,tfrac23r) é ponto de sela.

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