Determine os pontos críticos e classifique-os:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela). Vamos usar o método do gradiente (zerar as derivadas parciais) para achar os pontos críticos e o teste da matriz Hessiana (determinante das segundas derivadas) para a classificação.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero:
Substituindo
na segunda equação:
Resolvendo essa quadrática,
Logo
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
O determinante é
Passo 5
Avaliamos
e
em cada ponto:
Para
:
Para
: