Q. 1 ( 25 pontos) Resolva a EDO

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
l(2y - 6xy^3 + 4x^2r),dx ;+;l(x - 6x^2y^2r),dy ;=;0
O conteúdo principal é reconhecer uma equação quase exata e usar fator integrante. Vamos identificar M(x,y) e N(x,y), testar exatidão, achar um fator integrante dependente só de x e, então, obter a solução implícita.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 2y - 6xy^3 + 4x^2, N(x,y) = x - 6x^2y^2
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 2 - 18xy^2, partial Npartial x = 1 - 12xy^2
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu=mu(x). Sabemos que, se
partial M/partial y - partial N/partial xN
depender só de x, então mu(x)=exp!l(integral (partial M/partial y - partial N/partial x)/N ,dxr). Aqui
partial M/partial y - partial N/partial xN = l(2 - 18xy^2r) - l(1 - 12xy^2r),x - 6x^2y^2, = 1 - 6xy^2,x(1 - 6xy^2), = 1x
Logo
mu(x) = exp!l(integral tfrac1x,dxr) = x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x, obtendo
M1(x,y),dx + N1(x,y),dy = 0,
com
M1 = xl(2y - 6xy^3 + 4x^2r) = 2xy - 6x^2y^3 + 4x^3, N1 = xl(x - 6x^2y^2r) = x^2 - 6x^3y^2
Agora verificamos exatidão:
partial M1/partial y = 2x - 18x^2y^2
e
partial N1/partial x = 2x - 18x^2y^2,
logo a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M1, partial Psipartial y = N1
Integramos M1 em x:
Psi(x,y) = integrall(2xy - 6x^2y^3 + 4x^3r)dx = yx^2 - 2y^3x^3 + x^4 + h(y)
Derivando em relação a y,
partial Psipartial y = x^2 - 6x^3y^2 + h'(y) stackrel!= N1 = x^2 - 6x^3y^2,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.
A solução implícita é
Psi(x,y) = x^4 + x^2y - 2x^3y^3 = C

Resposta

x^4 + x^2y - 2x^3y^3 = C

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