Q. 1 ( 25 pontos) Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo principal é reconhecer uma equação quase exata e usar fator integrante. Vamos identificar
e
, testar exatidão, achar um fator integrante dependente só de
e, então, obter a solução implícita.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. Sabemos que, se
depender só de
, então
. Aqui
Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
com
Agora verificamos exatidão:
e
,
logo a equação é exata.
e
logo a equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em
:
Derivando em relação a
,
logo
e
é constante.
A solução implícita é