Determine os pontos críticos e classifique-os:
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificá-los (máximo, mínimo ou sela). Vamos usar o teste das derivadas parciais iguais a zero para encontrar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Em um ponto crítico,
e
. Assim obtemos o sistema
ou, simplificando,
Passo 3
Resolvendo o sistema
substituímos
em
:
Logo
ou
(isto é,
). Para cada caso:
- Se
, então , ponto . - Se
, então , ponto .
Passo 4
Para classificar, montamos a matriz Hessiana de
:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Avaliamos
e
em cada ponto:
- Em
:
como
, temos um ponto de sela.
- Em
:
Como
e
, é um máximo local.