Determine os pontos críticos e classifique-os:
z=x^3+y^3+3 x y+5.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de z=f(x,y)=x^3+y^3+3xy+5 e classificá-los (máximo, mínimo ou sela). Vamos usar o teste das derivadas parciais iguais a zero para encontrar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx = partial fpartial x = 3x^2 + 3y,
fy = partial fpartial y = 3y^2 + 3x
Em um ponto crítico, fx=0 e fy=0. Assim obtemos o sistema
3x^2 + 3y = 0, 3y^2 + 3x = 0
ou, simplificando,
x^2 + y = 0, y^2 + x = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema
y = -x^2, x = -y^2,
substituímos y=-x^2 em x = -y^2:
x = -l(-x^2r)^2 = -x^4 Longrightarrow x + x^4 = 0 Longrightarrow x(x^3+1)=0
Logo x=0 ou x^3=-1 (isto é, x=-1). Para cada caso:
  • Se x=0, então y=-0^2=0, ponto (0,0).
  • Se x=-1, então y=-(-1)^2=-1, ponto (-1,-1).

Passo 4

Para classificar, montamos a matriz Hessiana de f:
fxx = 6x, fyy = 6y, fxy = fyx = 3
O determinante da Hessiana é
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (6x)(6y) - 3^2 = 36,xy - 9

Passo 5

Avaliamos D e fxx em cada ponto:
  1. Em (0,0):
D(0,0) = 36cdot0cdot0 - 9 = -9 < 0,
como D<0, temos um ponto de sela.
  1. Em (-1,-1):
D(-1,-1)=36cdot(-1)cdot(-1)-9=36-9=27>0, fxx(-1,-1)=6cdot(-1)=-6<0
Como D>0 e fxx<0, é um máximo local.

Resposta

(0,0) é ponto de sela.
(-1,-1) é máximo local.

Exercícios relacionados