Resolva o problema de valor inicial.
12 d yd x=raizy+1 cos x, y(pi)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
12dydx = raizy+1,cos x
com condição inicial y(pi)=0.
É uma EDO de separação de variáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 2 e separamos as variáveis:
dydx = 2raizy+1,cos x Longrightarrow dyraizy+1 = 2cos x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyraizy+1 = integral 2cos x,dx
No lado esquerdo, integral (y+1)^-1/2dy = 2raizy+1. No direito, integral 2cos x,dx = 2sin x + C. Assim,
2raizy+1 = 2sin x + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(pi)=0. Como sinpi=0 e raiz0+1=1, temos
2cdot1 = 2sinpi + C ;Longrightarrow; C = 2

Passo 5

Substituindo C=2 em 2raizy+1=2sin x+2, obtemos
raizy+1 = sin x + 1
Elevação ao quadrado dá
y+1 = (sin x + 1)^2 = sin^2 x + 2sin x + 1,
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y(x) = sin^2 x + 2sin x

Resposta

y(x) = sin^2 x + 2sin x

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