Determine os pontos críticos da função
e classifique-os, se possível, como pontos de máximo, mínimo ou de sela.
Passo 1
O exercício pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como extremos ou sela. O conteúdo principal aqui é cálculo de derivadas parciais e uso da matriz Hessiana para classificação.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Igualando-as a zero, resolvemos primeiro
:
Passo 4
Como
no domínio, temos
, isto é
ou
, logo
.
Passo 5
Para
vem
Passo 6
Portanto os pontos críticos são
.
Passo 7
Para classificar, montamos a Hessiana. As segundas derivadas são:
Passo 8
Como
, o determinante é
. Em
temos
, então:
– Se então
e é máximo local.
– Se então
e é ponto de sela.
– Se
– Se
Passo 9
Avaliando em
:
Passo 10
Avaliando em
:
Resposta
Os pontos críticos são (1,2) e (–1,2), que são máximos locais, e (2,2) e (–2,2), que são pontos de sela.