Determine os pontos críticos da função f(x, y)=2 ln (x^2 y)+14 x^4-52 x^2-y+5 e classifique-os, se possível, como pontos de máximo, mínimo ou de sela.

Passo 1

O exercício pede para encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=2ln(x^2y)+tfrac14x^4-tfrac52x^2-y+5 e classificá-los como extremos ou sela. O conteúdo principal aqui é cálculo de derivadas parciais e uso da matriz Hessiana para classificação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=4x+x^3-5x
partial fpartial y=2y-1

Passo 3

Igualando-as a zero, resolvemos primeiro partial fpartial x=0:
4x+x^3-5x=0Rightarrow xl(x^4-5x^2+4r)=0

Passo 4

Como xneq0 no domínio, temos x^4-5x^2+4=0, isto é x^2=1 ou x^2=4, logo x=pm1,,pm2.

Passo 5

Para partial fpartial y=0 vem
2y-1=0Rightarrow y=2

Passo 6

Portanto os pontos críticos são (x,y)=(1,2),(-1,2),(2,2),(-2,2).

Passo 7

Para classificar, montamos a Hessiana. As segundas derivadas são:
fxx=-4x^2+3x^2-5, fyy=-2y^2, fxy=0

Passo 8

Como fxy=0, o determinante é D=fxxfyy. Em y=2 temos fyy=-tfrac24=-tfrac12<0, então:
– Se fxx<0 então D>0 e é máximo local.
– Se fxx>0 então D<0 e é ponto de sela.

Passo 9

Avaliando em x=pm1:
fxx=-tfrac41+3cdot1-5=-6<0 Rightarrow máximo local.

Passo 10

Avaliando em x=pm2:
fxx=-tfrac44+3cdot4-5=6>0 Rightarrow ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (1,2) e (–1,2), que são máximos locais, e (2,2) e (–2,2), que são pontos de sela.

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