Determine os pontos críticos da função f(x, y)=x y^33-y x^3+8 y e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = \frac{x y^{3}}{3} - y x^{3} + 8 y $ e classificar cada um deles. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo multivariável, especificamente buscando as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ e igualando-as a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f(x, y)
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Isso nos dá o seguinte sistema:
y^33 - 3y x^2 = 0 x y^2 - x^3 + 8 = 0

Passo 4

Vamos simplificar a primeira equação:
y^33 - 3y x^2 = 0 Rightarrow y (y^23 - 3 x^2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ y = 0 $
  2. $ \frac{y^{2}}{3} - 3 x^{2} = 0 $ $\Rightarrow y^{2} = 9 x^{2} $ $\Rightarrow y = \pm 3x $

Passo 5

Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: $ y = 0 $
Substituímos $ y = 0 $ na segunda equação:
y = 0
Então, temos o ponto crítico $ (2, 0) $.
Caso 2: $ y = 3x $
Substituímos $ y = 3x $ na segunda equação:
y = 0
Então, $ y = 3(-1) = -3 $, e o ponto crítico é $ (-1, -3) $.
Caso 3: $ y = -3x $
Substituímos $ y = -3x $ na segunda equação:
x (0)^2 - x^3 + 8 = 0 Rightarrow -x^3 + 8 = 0 Rightarrow x^3 = 8 Rightarrow x = 2
Então, $ y = -3(-1) = 3 $, e o ponto crítico é $ (-1, 3) $.

Passo 6

Agora que temos os pontos críticos $ (2, 0) $, $ (-1, -3) $ e $ (-1, 3) $, precisamos classificá-los. Para isso, vamos calcular as derivadas de segunda ordem e usar o teste da derivada segunda.
Calculamos as segundas derivadas:
(2, 0)
(-1, -3)
(-1, 3)
O discriminante $ D $ é dado por:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -6y x
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
Para $ (2, 0) $:
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2x y
Como $ D < 0 $, o ponto $ (2, 0) $ é um ponto de sela.
Para $ (-1, -3) $:
fxy = partial^2 fpartial x partial y = y^2 - 3x^2
Como $ D < 0 $, o ponto $ (-1, -3) $ é um ponto de sela.
Para $ (-1, 3) $:
D
Como $ D < 0 $, o ponto $ (-1, 3) $ é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x, y) = \frac{x y^{3}}{3} - y x^{3} + 8 y $ são $ (2, 0) $, $ (-1, -3) $ e $ (-1, 3) $. Todos esses pontos são pontos de sela.

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