Determine os pontos críticos da função
e classifique-os.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = \frac{x y^{3}}{3} - y x^{3} + 8 y $ e classificar cada um deles. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo multivariável, especificamente buscando as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ e igualando-as a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Isso nos dá o seguinte sistema:
Passo 4
Vamos simplificar a primeira equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ y = 0 $
- $ \frac{y^{2}}{3} - 3 x^{2} = 0 $ $\Rightarrow y^{2} = 9 x^{2} $ $\Rightarrow y = \pm 3x $
Passo 5
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: $ y = 0 $
Substituímos $ y = 0 $ na segunda equação:
Então, temos o ponto crítico $ (2, 0) $.
Caso 2: $ y = 3x $
Substituímos $ y = 3x $ na segunda equação:
Então, $ y = 3(-1) = -3 $, e o ponto crítico é $ (-1, -3) $.
Caso 3: $ y = -3x $
Substituímos $ y = -3x $ na segunda equação:
Então, $ y = -3(-1) = 3 $, e o ponto crítico é $ (-1, 3) $.
Passo 6
Agora que temos os pontos críticos $ (2, 0) $, $ (-1, -3) $ e $ (-1, 3) $, precisamos classificá-los. Para isso, vamos calcular as derivadas de segunda ordem e usar o teste da derivada segunda.
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante $ D $ é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
Para $ (2, 0) $:
Como $ D < 0 $, o ponto $ (2, 0) $ é um ponto de sela.
Para $ (-1, -3) $:
Como $ D < 0 $, o ponto $ (-1, -3) $ é um ponto de sela.
Para $ (-1, 3) $:
Como $ D < 0 $, o ponto $ (-1, 3) $ é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x, y) = \frac{x y^{3}}{3} - y x^{3} + 8 y $ são $ (2, 0) $, $ (-1, -3) $ e $ (-1, 3) $. Todos esses pontos são pontos de sela.