Determine os valores máximo e mínimo absolutos (e sua localização) para a região delimitada pelo triângulo de vértices (0,0),(2,4) e (2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximo e mínimo absolutos, assim como onde eles ocorrem, dentro da região que forma um triângulo com os vértices em (0,0), (2,4) e (2,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca por extremos absolutos em regiões fechadas. Vamos precisar analisar os pontos dentro da região e também nas bordas do triângulo.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir qual função estamos otimizando. Vamos supor que a função seja f(x, y) = x + y. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores máximo e mínimo dentro do triângulo dado.

Passo 3

Vamos começar encontrando os pontos críticos dentro da região. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função e igualamos a zero:
partial fpartial x = 1 e partial fpartial y = 1
Igualando a zero:
1 = 0 e 1 = 0
Isso não tem solução real, o que significa que não há pontos críticos dentro do triângulo. Então, os extremos absolutos devem ocorrer nas bordas do triângulo.

Passo 4

Agora, vamos analisar as bordas do triângulo separadamente:
  1. Borda entre (0,0) e (2,0): Aqui, y = 0. Então, a função fica f(x, 0) = x + 0 = x. O valor de x varia de 0 a 2, então f(x,0) varia de 0 a 2.
  2. Borda entre (2,0) e (2,4): Aqui, x = 2. Então, a função fica f(2, y) = 2 + y. O valor de y varia de 0 a 4, então f(2,y) varia de 2 a 6.
  3. Borda entre (0,0) e (2,4): Nesta borda, a reta é dada por y = 2x. Substituindo na função: f(x, 2x) = x + 2x = 3x. O valor de x varia de 0 a 2, então f(x,2x) varia de 0 a 6.

Passo 5

Vamos agora identificar os valores máximos e mínimos obtidos nas bordas:
  • Mínimo: 0 ocorre em (0,0).
  • Máximo: 6 ocorre em (2,4) e também em qualquer ponto da borda entre (0,0) e (2,4) quando x = 2.

Resposta

O valor mínimo absoluto é 0, que ocorre no ponto (0,0). O valor máximo absoluto é 6, que ocorre no ponto (2,4).

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