Determine os valores máximo e mínimo absolutos (e sua localização) para a região delimitada pelo triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximo e mínimo absolutos, assim como onde eles ocorrem, dentro da região que forma um triângulo com os vértices em
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca por extremos absolutos em regiões fechadas. Vamos precisar analisar os pontos dentro da região e também nas bordas do triângulo.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir qual função estamos otimizando. Vamos supor que a função seja
. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores máximo e mínimo dentro do triângulo dado.
Passo 3
Vamos começar encontrando os pontos críticos dentro da região. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função e igualamos a zero:
Igualando a zero:
Isso não tem solução real, o que significa que não há pontos críticos dentro do triângulo. Então, os extremos absolutos devem ocorrer nas bordas do triângulo.
Passo 4
Agora, vamos analisar as bordas do triângulo separadamente:
-
Borda entre
e : Aqui, . Então, a função fica . O valor de varia de a , então varia de a . -
Borda entre
e : Aqui, . Então, a função fica . O valor de varia de a , então varia de a . -
Borda entre
e : Nesta borda, a reta é dada por . Substituindo na função: . O valor de varia de a , então varia de a .
Passo 5
Vamos agora identificar os valores máximos e mínimos obtidos nas bordas:
- Mínimo:
ocorre em . - Máximo:
ocorre em e também em qualquer ponto da borda entre e quando .
Resposta
O valor mínimo absoluto é
, que ocorre no ponto
. O valor máximo absoluto é
, que ocorre no ponto
.