Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
31) sumk=1^infty (x-2)^k3^k k^2

Passo 1

Temos a série de potências centrada em x=2:
sumk=1^infty(x-2)^k3^k,k^2
O conteúdo é raio e intervalo de convergência de séries de potência. Vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois verificar os extremos.

Passo 2

Definimos o termo geral
ak=(x-2)^k3^k,k^2
Aplicando o teste da razão, calculamos
|ak+1||ak| =|x-2|^k+13^k+1(k+1)^2/|x-2|^k3^k k^2 =|x-2|3cdotk^2(k+1)^2
Como limktoinftyk^2(k+1)^2=1, o teste dá
limktoinfty|ak+1||ak|=|x-2|3<1
logo o raio de convergência é R=3 e o intervalo aberto é -1.

Passo 3

Precisamos agora checar os extremos:
• Para x=-1 temos x-2=-3 e a série vira
sumk=1^infty(-3)^k3^k k^2=sumk=1^infty(-1)^kk^2,
que converge absolutamente (é p-série com p=2>1).
• Para x=5 temos x-2=3 e a série vira
sumk=1^infty3^k3^k k^2=sumk=1^infty1k^2,
que também converge (p-série com p=2>1).
Como ambos os extremos convergem, eles entram no intervalo de convergência.

Resposta

[-1,5]

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