Verifique que yp(t)=2 t+2 é uma solução particular de
y^prime prime-4 y^prime+4 y=8 t
Finalmente, que y(t)=yh(t)+yp(t) também é solução dessa equação não homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do segundo grau:
y'' - 4y' + 4y = 8t
E a gente precisa verificar se $ y_p(t) = 2t + 2 $ é uma solução particular dessa equação. Além disso, temos que mostrar que a solução geral, que é a soma da solução homogênea $ y_h(t) $ com a solução particular $ y_p(t) $, também resolve a equação não homogênea. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que $ y_p(t) = 2t + 2 $ seja uma solução particular. Isso quer dizer que, se substituirmos $ y_p(t) $ na equação diferencial, ela deve satisfazer a igualdade. Ou seja, vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $, substituir na equação e ver se o resultado é igual a $ 8t $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
Primeira derivada:
yp(t) = 2t + 2
Segunda derivada:
yp'(t) = ddt(2t + 2) = 2

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação diferencial:
yp(t)
Substituindo:
yp'(t)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
0 - 8 + 8t + 8 = 8t
Os termos constantes $ -8 $ e $ +8 $ se cancelam, sobrando:
-8
Isso confirma que $ y_p(t) = 2t + 2 $ satisfaz a equação diferencial.

Passo 6

Agora, precisamos verificar que a solução geral $ y(t) = y_h(t) + y_p(t) $ também é uma solução da equação não homogênea. Sabemos que $ y_h(t) $ é a solução da equação homogênea associada:
y(t) = yh(t) + yp(t)
E $ y_p(t) $ é a solução particular que acabamos de verificar.

Passo 7

Como a equação é linear, a soma das soluções da equação homogênea com uma solução particular da equação não homogênea também será uma solução da equação não homogênea. Portanto, substituindo $ y(t) = y_h(t) + y_p(t) $ na equação original:
y(t) = yh(t) + yp(t)
Isso mostra que $ y(t) $ realmente satisfaz a equação diferencial não homogênea.

Resposta

Sim, $ y_p(t) = 2t + 2 $ é uma solução particular da equação diferencial $ y’’ - 4y’ + 4y = 8t $, e a solução geral $ y(t) = y_h(t) + y_p(t) $ também resolve a equação não homogênea.

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