Verifique que
é uma solução particular de
Finalmente, que
também é solução dessa equação não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do segundo grau:
E a gente precisa verificar se $ y_p(t) = 2t + 2 $ é uma solução particular dessa equação. Além disso, temos que mostrar que a solução geral, que é a soma da solução homogênea $ y_h(t) $ com a solução particular $ y_p(t) $, também resolve a equação não homogênea. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ y_p(t) = 2t + 2 $ seja uma solução particular. Isso quer dizer que, se substituirmos $ y_p(t) $ na equação diferencial, ela deve satisfazer a igualdade. Ou seja, vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $, substituir na equação e ver se o resultado é igual a $ 8t $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Os termos constantes $ -8 $ e $ +8 $ se cancelam, sobrando:
Isso confirma que $ y_p(t) = 2t + 2 $ satisfaz a equação diferencial.
Passo 6
Agora, precisamos verificar que a solução geral $ y(t) = y_h(t) + y_p(t) $ também é uma solução da equação não homogênea. Sabemos que $ y_h(t) $ é a solução da equação homogênea associada:
E $ y_p(t) $ é a solução particular que acabamos de verificar.
Passo 7
Como a equação é linear, a soma das soluções da equação homogênea com uma solução particular da equação não homogênea também será uma solução da equação não homogênea. Portanto, substituindo $ y(t) = y_h(t) + y_p(t) $ na equação original:
Isso mostra que $ y(t) $ realmente satisfaz a equação diferencial não homogênea.
Resposta
Sim, $ y_p(t) = 2t + 2 $ é uma solução particular da equação diferencial $ y’’ - 4y’ + 4y = 8t $, e a solução geral $ y(t) = y_h(t) + y_p(t) $ também resolve a equação não homogênea.