Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Isso faz parte de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de funções e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde essa derivada é igual a zero e depois analisar o comportamento da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em cada ponto. A notação para a derivada de
é
.
A derivada de
é calculada termo a termo:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada
, precisamos encontrar onde ela é igual a zero. Esses pontos são os pontos críticos, onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Então, vamos resolver a equação:
Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por 6 para eliminar os denominadores:
Agora, fatoramos:
Assim, uma das soluções é
. Para encontrar as outras soluções, resolvemos a equação quadrática
.
Calculando o discriminante
:
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais para essa parte da equação. Portanto, o único ponto crítico real é
.
Passo 4
Agora que identificamos o ponto crítico
, vamos classificá-lo. Para isso, usamos a Segunda Derivada, que nos ajuda a determinar se esse ponto é um mínimo, um máximo ou nem nada disso.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
:
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico
:
Como
, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que
é um ponto de mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico da função é
, e este é um ponto de mínimo local.