Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os.
f(x)=x^412-x^36+x^22+10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função f(x) = x^412 - x^36 + x^22 + 10 e classificá-los. Isso faz parte de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de funções e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde essa derivada é igual a zero e depois analisar o comportamento da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f(x) . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em cada ponto. A notação para a derivada de f é f'(x) .
A derivada de f(x) = x^412 - x^36 + x^22 + 10 é calculada termo a termo:
f'(x) = ddx(x^412) - ddx(x^36) + ddx(x^22) + ddx(10)
Calculando cada termo:
f'(x) = 4x^312 - 3x^26 + 2x2 + 0
Simplificando:
f'(x) = x^33 - x^22 + x

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada f'(x) = x^33 - x^22 + x , precisamos encontrar onde ela é igual a zero. Esses pontos são os pontos críticos, onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Então, vamos resolver a equação:
x^33 - x^22 + x = 0
Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por 6 para eliminar os denominadores:
6 cdot (x^33 - x^22 + x) = 0 cdot 6
2x^3 - 3x^2 + 6x = 0
Agora, fatoramos:
x (2x^2 - 3x + 6) = 0
Assim, uma das soluções é x = 0 . Para encontrar as outras soluções, resolvemos a equação quadrática 2x^2 - 3x + 6 = 0 .
Calculando o discriminante De<a :
De<a = (-3)^2 - 4 cdot 2 cdot 6 = 9 - 48 = -39
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais para essa parte da equação. Portanto, o único ponto crítico real é x = 0 .

Passo 4

Agora que identificamos o ponto crítico x = 0 , vamos classificá-lo. Para isso, usamos a Segunda Derivada, que nos ajuda a determinar se esse ponto é um mínimo, um máximo ou nem nada disso.
Primeiro, encontramos a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx(x^33 - x^22 + x) = x^2 - x + 1
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico x = 0 :
f''(0) = (0)^2 - 0 + 1 = 1
Como f''(0) > 0 , isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que x = 0 é um ponto de mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico da função é x = 0 , e este é um ponto de mínimo local.

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