Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de h(t)=
e classificá-los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. O conteúdo principal envolve derivada (regra do quociente), domínio da função, pontos onde h′(t)=0 ou indefinida, e análise de sinal para classificação.
Passo 2
O domínio de h(t) é todos os t tais que o denominador não zere. Como
, temos domínio
.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Os pontos críticos surgem quando h′(t)=0 dentro do domínio. Da expressão acima, numerador nulo dá t=0 ou t=4.
Passo 5
Para classificar, notamos que o denominador ao quadrado é sempre positivo no domínio. Então o sinal de h′(t) vem de t(t-4):
• para t<0: t<0 e t-4<0 ⇒ h′>0 (crescente)
• para 0<t<4: t>0 e t-4<0 ⇒ h′<0 (decrescente)
• para t>4: t>0 e t-4>0 ⇒ h′>0 (crescente)
Logo, em t=0 a derivada muda de positiva para negativa ⇒ máximo relativo. Em t=4 muda de negativa para positiva ⇒ mínimo relativo.
• para t<0: t<0 e t-4<0 ⇒ h′>0 (crescente)
• para 0<t<4: t>0 e t-4<0 ⇒ h′<0 (decrescente)
• para t>4: t>0 e t-4>0 ⇒ h′>0 (crescente)
Logo, em t=0 a derivada muda de positiva para negativa ⇒ máximo relativo. Em t=4 muda de negativa para positiva ⇒ mínimo relativo.
Resposta
Pontos críticos: t=0 (máximo relativo) e t=4 (mínimo relativo).