Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
(d) h(t)=t^2t^2+t-2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de h(t)= t^2/(t^2+t-2) e classificá-los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. O conteúdo principal envolve derivada (regra do quociente), domínio da função, pontos onde h′(t)=0 ou indefinida, e análise de sinal para classificação.

Passo 2

O domínio de h(t) é todos os t tais que o denominador não zere. Como t^2+t-2=(t+2)(t-1), temos domínio Rsetminus -2,1.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
h'(t)=2t,(t^2+t-2)-t^2,(2t+1)(t^2+t-2)^2 =t(t-4)(t^2+t-2)^2

Passo 4

Os pontos críticos surgem quando h′(t)=0 dentro do domínio. Da expressão acima, numerador nulo dá t=0 ou t=4.

Passo 5

Para classificar, notamos que o denominador ao quadrado é sempre positivo no domínio. Então o sinal de h′(t) vem de t(t-4):
• para t<0: t<0 e t-4<0 ⇒ h′>0 (crescente)
• para 0<t<4: t>0 e t-4<0 ⇒ h′<0 (decrescente)
• para t>4: t>0 e t-4>0 ⇒ h′>0 (crescente)
Logo, em t=0 a derivada muda de positiva para negativa ⇒ máximo relativo. Em t=4 muda de negativa para positiva ⇒ mínimo relativo.

Resposta

Pontos críticos: t=0 (máximo relativo) e t=4 (mínimo relativo).

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