Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então, calcule a área da região.
y=raizx-1, x-y=1

Passo 1

Temos duas curvas: y=raizx-1 e x-y=1. O conteúdo aqui é cálculo de área de uma região plana usando integração dupla (ou única em coordenadas apropriadas). Para resolver, precisamos achar a região comum, decidir a ordem de integração e montar a integral.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, escrevemos x em função de y na reta: x=y+1. Substituindo na raiz:
y=raiz(y+1)-1=raizy

Passo 3

Resolvendo y=raizy:
y^2=yimplies y(y-1)=0implies y=0 ou y=1

Passo 4

Os respectivos x são x=y+1, logo temos os pontos (1,0) e (2,1).

Passo 5

Ao esboçar, nota-se que para y de 0 a 1, a curva da raiz é x=y^2+1 (resolvendo y=raizx-1 para x) e a reta é x=y+1. A região é simples em y, com x variando de xesq=y^2+1 até xdir=y+1.

Passo 6

A área é dada por
A=integraly=0^1l[(y+1)-(y^2+1)r],dy=integral0^1(y-y^2),dy

Passo 7

Calculando:
A=[y^22-y^33]0^1=12-13=16

Resposta

16

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