Usando substituição simples calcule
integral 1e^x+e^-x d x
DICA: Use o fato de que integral 1u^2+1 d u=tg^-1 u+C

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos utilizar a matéria de cálculo integral, especialmente o método de substituição simples. Vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral e permita aplicar uma fórmula conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
e^x + e^-x = e^x + 1e^x = e^2x + 1e^x
Agora, a integral fica:
integral 1e^x + e^-x , dx = integral e^xe^2x + 1 , dx
Essa simplificação facilita a aplicação da substituição.

Passo 3

Vamos realizar uma substituição simples para facilitar a integral. Seja:
u = e^x
Então, derivando ambos os lados em relação a du = e^x , dx Rightarrow dx = due^x = duu :
integral e^xe^2x + 1 , dx = integral uu^2 + 1 cdot duu = integral 1u^2 + 1 , du
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral integral 1u^2 + 1 , du = tan^-1(u) + C é uma forma padrão que corresponde à função arco-tangente. A fórmula conhecida é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, desfazemos a substituição que fizemos no Passo 3. Sabemos que tan^-1(u) + C = tan^-1(e^x) + C , então:

Resposta

A integral de tan^-1( e^x ) + C em relação a é:

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