Calcule os limites: lim x a x raizx-a raizaraizx-raiza

Passo 1

O problema pede o cálculo do limite limxto axraizx-araizaraizx-raiza. O conteúdo principal envolve limites e manipulação algébrica para eliminar a forma indeterminada 0/0, usando fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que xraizx=(raizx)^3 e araiza=(raiza)^3. Então o numerador é a diferença de cubos
(raizx)^3-(raiza)^3
e o denominador é
raizx-raiza
Pela identidade de diferença de cubos
u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2),
aplicando com u=raizx e v=raiza, temos
(raizx)^3-(raiza)^3=(raizx-raiza)(x+raizax+a)

Passo 3

Como o fator raizx-raiza cancela entre numerador e denominador, a expressão simplifica para
x+raizax+a
Agora basta tomar o limite quando xto a em cada termo. Substituindo x=a, obtemos
a+raizacdot a+a=a+a+a=3a

Resposta

3a

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