Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
f(x)=x^3-4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 4x $, ver onde ela está crescendo ou decrescendo, e identificar os pontos máximos e mínimos, tanto relativos quanto absolutos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto, o que nos ajuda a entender onde a função está subindo ou descendo.
A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 4 $ sempre existe, então vamos apenas resolver $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 3x^2 - 4
Então, os pontos críticos são $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $ e $ x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $.

Passo 4

Vamos agora analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos ver o sinal da derivada $ f’(x) $ nos intervalos definidos pelos pontos críticos.
  • Intervalo 1: $ x < -\frac{2\sqrt{3}}{3} $
    f'(x) é
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  • Intervalo 2: $ -\frac{2\sqrt{3}}{3} < x < \frac{2\sqrt{3}}{3} $
    x < -2raiz33 é
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Intervalo 3: $ x > \frac{2\sqrt{3}}{3} $
    f'(x) = 3x^2 - 4 > 0 (porque x^2 é positivo e grande suficiente) é
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Com base nisso, vamos identificar os pontos máximos e mínimos.
  • No ponto $ x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $:
    A função muda de crescendo para decrescendo, indicando um máximo relativo.
  • No ponto $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $:
    A função muda de decrescendo para crescendo, indicando um mínimo relativo.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se esses pontos são também máximos ou mínimos absolutos. Como a função é um polinômio de grau 3, ela tende a $ -\infty $ quando $ x \to -\infty $ e a $ +\infty $ quando $ x \to +\infty $. Portanto, não há máximos ou mínimos absolutos, apenas os relativos que encontramos.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 4x $ são $ x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} $. A função está crescendo nos intervalos $ x < -\frac{2\sqrt{3}}{3} $ e $ x > \frac{2\sqrt{3}}{3} $, e decrescendo no intervalo $ -\frac{2\sqrt{3}}{3} < x < \frac{2\sqrt{3}}{3} $. Portanto, há um máximo relativo em $ x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $ e um mínimo relativo em $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $. Não existem máximos ou mínimos absolutos para essa função.

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