Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 4x $, ver onde ela está crescendo ou decrescendo, e identificar os pontos máximos e mínimos, tanto relativos quanto absolutos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto, o que nos ajuda a entender onde a função está subindo ou descendo.
A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 4 $ sempre existe, então vamos apenas resolver $ f’(x) = 0 $:
Então, os pontos críticos são $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $ e $ x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $.
Passo 4
Vamos agora analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos ver o sinal da derivada $ f’(x) $ nos intervalos definidos pelos pontos críticos.
-
Intervalo 1: $ x < -\frac{2\sqrt{3}}{3} $Então, a função está crescendo nesse intervalo.
-
Intervalo 2: $ -\frac{2\sqrt{3}}{3} < x < \frac{2\sqrt{3}}{3} $Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
-
Intervalo 3: $ x > \frac{2\sqrt{3}}{3} $Então, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Com base nisso, vamos identificar os pontos máximos e mínimos.
-
No ponto $ x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $:
A função muda de crescendo para decrescendo, indicando um máximo relativo. -
No ponto $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $:
A função muda de decrescendo para crescendo, indicando um mínimo relativo.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se esses pontos são também máximos ou mínimos absolutos. Como a função é um polinômio de grau 3, ela tende a $ -\infty $ quando $ x \to -\infty $ e a $ +\infty $ quando $ x \to +\infty $. Portanto, não há máximos ou mínimos absolutos, apenas os relativos que encontramos.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 4x $ são $ x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} $. A função está crescendo nos intervalos $ x < -\frac{2\sqrt{3}}{3} $ e $ x > \frac{2\sqrt{3}}{3} $, e decrescendo no intervalo $ -\frac{2\sqrt{3}}{3} < x < \frac{2\sqrt{3}}{3} $. Portanto, há um máximo relativo em $ x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $ e um mínimo relativo em $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $. Não existem máximos ou mínimos absolutos para essa função.