Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = \sin x + \cos x $ no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $. Depois, vamos ver onde a função está crescendo ou decrescendo e, com isso, identificar seus máximos e mínimos, tanto relativos quanto absolutos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, se está aumentando ou diminuindo.
A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $ e a derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de $ x $ onde a derivada é zero ou não existe. Como nossa derivada $ f’(x) = \cos x - \sin x $ está definida para todo $ x $, vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
Para resolver essa equação, podemos dividir ambos os lados por $ \cos x $ (desde que $ \cos x \neq 0 $):
Sabemos que $ \tan x = 1 $ quando $ x = \frac{\pi}{4} $ e $ x = \frac{5\pi}{4} $ no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $. Então, os pontos críticos são $ x = \frac{\pi}{4} $ e $ x = \frac{5\pi}{4} $.
Passo 4
Vamos agora analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, observamos o sinal da derivada $ f’(x) $:
- Se $ f’(x) > 0 $, a função está crescente.
- Se $ f’(x) < 0 $, a função está decrescente.
Dividindo o intervalo $ [0, 2\pi] $ pelos pontos críticos $ \frac{\pi}{4} $ e $ \frac{5\pi}{4} $, temos três intervalos para testar:
- $ 0 < x < \frac{\pi}{4} $
- $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} $
- $ \frac{5\pi}{4} < x < 2\pi $
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal de $ f’(x) $:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = \pi $:
- Para $ x = \frac{3\pi}{2} $:
Então:
- Crescente em $ 0 < x < \frac{\pi}{4} $ e $ \frac{5\pi}{4} < x < 2\pi $.
- Decrescente em $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} $.
Passo 5
Agora, vamos identificar os máximos e mínimos:
-
Máximo relativo ocorre onde a função muda de crescente para decrescente. Isso acontece em $ x = \frac{\pi}{4} $.
-
Mínimo relativo ocorre onde a função muda de decrescente para crescente. Isso acontece em $ x = \frac{5\pi}{4} $.
Para os máximos e mínimos absolutos, precisamos também avaliar os valores da função nas extremidades do intervalo $ [0, 2\pi] $:
Calculamos $ f(x) $ nesses pontos:
-
$ f(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 $
-
$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $
-
$ f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin \left(\frac{5\pi}{4}\right) + \cos \left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $
-
$ f(2\pi) = \sin 2\pi + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1 $
Comparando os valores:
- O máximo absoluto é $ \sqrt{2} $ em $ x = \frac{\pi}{4} $.
- O mínimo absoluto é $ -\sqrt{2} $ em $ x = \frac{5\pi}{4} $.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x) = \sin x + \cos x $ no intervalo $ [0, 2\pi] $ são $ x = \frac{\pi}{4} $ e $ x = \frac{5\pi}{4} $. A função está crescente em $ 0 < x < \frac{\pi}{4} $ e $ \frac{5\pi}{4} < x < 2\pi $, e decrescente em $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} $.
Máximo absoluto: $ \sqrt{2} $ em $ x = \frac{\pi}{4} $.
Mínimo absoluto: $ -\sqrt{2} $ em $ x = \frac{5\pi}{4} $.