Parte 2 - Séries de Taylor (centradas na origem)
Utilize a série de Taylor de centrada em para estimar considerando os quatro primeiros termos não nulos. Compare a aproximação com o valor real e estime o erro.
Passo 1
O enunciado pede para estimar usando os quatro primeiros termos não nulos da série de Taylor de em torno de . Vamos precisar do desenvolvimento em série (ou expansão binomial) e depois comparar com o valor exato para avaliar o erro.
Passo 2
A série de Taylor (expansão binomial) para em torno de zero é dada por
onde
Esse coeficiente surge do fato de que estamos expandindo em série de potências.
Passo 3
Extraímos então os quatro primeiros termos não nulos ():
Aqui cada coeficiente é , , , .
Passo 4
Agora substituímos (pois ) e calculamos termo a termo:
Somando:
Passo 5
Para comparar, o valor exato é . A diferença (erro real) é
Como estimativa de cota pelo próximo termo da série () temos
ou seja, o erro está abaixo de 6.25times10^-5, bem de acordo com a diferença observada.
Resposta
Usando os quatro primeiros termos não nulos, obtém-se raiz1.2approx1.0955.
O valor exato é 1.095445115, logo o erro real é aproximadamente 5.5times10^-5 (e fica abaixo de 6.25times10^-5 pela cota do próximo termo).