Parte 2 - Séries de Taylor (centradas na origem)
Utilize a série de Taylor de f(x)=raiz1+x centrada em x=0 para estimar raiz1.2 considerando os quatro primeiros termos não nulos. Compare a aproximação com o valor real e estime o erro.

Passo 1

O enunciado pede para estimar raiz1.2 usando os quatro primeiros termos não nulos da série de Taylor de f(x)=raiz1+x em torno de x=0. Vamos precisar do desenvolvimento em série (ou expansão binomial) e depois comparar com o valor exato para avaliar o erro.

Passo 2

A série de Taylor (expansão binomial) para raiz1+x em torno de zero é dada por
raiz1+x=sumk=0^inftybinomtfrac12kx^k,
onde
binomtfrac12k=(tfrac12)(tfrac12-1)cdots(tfrac12-k+1)k!
Esse coeficiente surge do fato de que estamos expandindo (1+x)^1/2 em série de potências.

Passo 3

Extraímos então os quatro primeiros termos não nulos ( k=0,1,2,3):
raiz1+x=1+12x-18x^2+116x^3+cdots
Aqui cada coeficiente é binom1/20=1, binom1/21=1/2, binom1/22=-1/8, binom1/23=1/16.

Passo 4

Agora substituímos x=0.2 (pois 1+x=1.2) e calculamos termo a termo:
1=1, 12cdot0.2=0.1, -18cdot(0.2)^2=-0.005, 116cdot(0.2)^3=0.0005
Somando:
raiz1.2approx1+0.1-0.005+0.0005=1.0955

Passo 5

Para comparar, o valor exato é raiz1.2approx1.095445115. A diferença (erro real) é
|1.0955-1.095445115|approx5.5times10^-5
Como estimativa de cota pelo próximo termo da série ( k=4) temos
l|tfrac5128(0.2)^4r|=6.25times10^-5,
ou seja, o erro está abaixo de 6.25times10^-5, bem de acordo com a diferença observada.

Resposta

Usando os quatro primeiros termos não nulos, obtém-se
raiz1.2approx1.0955.
O valor exato é 1.095445115, logo o erro real é aproximadamente 5.5times10^-5 (e fica abaixo de 6.25times10^-5 pela cota do próximo termo).

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