Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
Temos a função f(x)=\frac{x^3}{3}-4x definida em [-5,3). Vamos usar derivadas para achar pontos críticos, depois estudar monotonicidade pela análise do sinal de f’(x) e assim classificar máximos e mínimos.
Passo 2
Calculamos a derivada:
Para achar pontos críticos, resolvemos f’(x)=0, ou seja x^2-4=0, de onde x=±2.
Passo 3
Agora estudamos o sinal de f’(x)=x^2-4:
- Para x<-2 (isto é em [-5,-2)) temos x^2>4 ⇒ f’(x)>0 ⇒ f cresce.
- Para -2<x<2 temos x^2<4 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f decresce.
- Para 2<x<3 temos x^2>4 ⇒ f’(x)>0 ⇒ f cresce.
Como f passa de crescente a decrescente em x=-2, isso indica um máximo local em x=-2. Como f vai de decrescente a crescente em x=2, isso indica um mínimo local em x=2.
Passo 4
Agora avaliamos f nos pontos relevantes:
- f(-5)=\frac{(-5)^3}{3}-4(-5)=\frac{-125}{3}+20=\frac{-125+60}{3}=!!-\frac{65}{3}
- f(-2)=\frac{(-2)^3}{3}-4(-2)=\frac{-8}{3}+8=\frac{16}{3}
- f(2)=\frac{2^3}{3}-4\cdot2=\frac{8}{3}-8=-\frac{16}{3}
- Em x→3^- temos f(3^-)=9-12=-3
Passo 5
Comparando os valores:
- O maior valor é f(-2)=16/3 ⇒ máximo absoluto e também máximo relativo em x=-2.
- O menor valor é f(-5)=-65/3 ⇒ mínimo absoluto em x=-5.
- Há ainda mínimo relativo em x=2 com f(2)=-16/3.
Resposta
Pontos críticos: x=-2 e x=2.
f′(x)>0 em [-5,-2) e em (2,3) ⇒ f cresce nesses intervalos.
f′(x)<0 em (-2,2) ⇒ f decresce nesse intervalo.
Máximo relativo e absoluto em x=-2, com f(-2)=16/3.
Mínimo relativo em x=2, com f(2)=-16/3.
Mínimo absoluto em x=-5, com f(-5)=-65/3.
f′(x)>0 em [-5,-2) e em (2,3) ⇒ f cresce nesses intervalos.
f′(x)<0 em (-2,2) ⇒ f decresce nesse intervalo.
Máximo relativo e absoluto em x=-2, com f(-2)=16/3.
Mínimo relativo em x=2, com f(2)=-16/3.
Mínimo absoluto em x=-5, com f(-5)=-65/3.