Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{1}{x^{2} + 3} $ e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função. Além disso, vamos estudar onde a função está crescente ou decrescente e, com base nisso, identificar todos os máximos e mínimos relativos e absolutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a analisar como a função se comporta.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, como a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de $ f(x) = \frac{1}{x^{2} + 3} $ é calculada usando a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vamos usar a regra da cadeia aqui.
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{-2x}{(x^{2} + 3)^{2}} $, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe.
Vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
O numerador precisa ser zero:
Não há valores de $ x $ que tornem o denominador zero, então o único ponto crítico é $ x = 0 $.
Passo 4
Agora vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos o sinal da derivada $ f’(x) $:
-
Para $ x < 0 $:
- $ -2x $ é positivo porque $ x $ é negativo.
- O denominador $ (x^{2} + 3)^{2} $ é sempre positivo.
- Então, $ f’(x) > 0 $ ⇒ A função está crescente.
-
Para $ x > 0 $:
- $ -2x $ é negativo porque $ x $ é positivo.
- O denominador $ (x^{2} + 3)^{2} $ é sempre positivo.
- Então, $ f’(x) < 0 $ ⇒ A função está decrescente.
Passo 5
Com base nisso, podemos identificar o comportamento da função:
- Em $ x = 0 $:
- A função muda de crescente para decrescente.
- Isso indica que $ x = 0 $ é um ponto de máximo relativo.
Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Passo 6
Além disso, vamos observar o comportamento da função para valores grandes de $ x $:
- Conforme $ x $ tende a $ \pm\infty $, $ x^{2} $ domina, e $ f(x) $ tende a zero.
Isso significa que a função não possui mínimos absolutos, já que nunca atinge um valor mínimo fixo, apenas se aproxima de zero.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{1}{x^{2} + 3} $ possui um ponto crítico em $ x = 0 $. Ela é crescente para $ x < 0 $ e decrescente para $ x > 0 $. Portanto, há um máximo relativo e absoluto em $ x = 0 $ com valor $ f(0) = \frac{1}{3} $. A função não apresenta mínimos relativos ou absolutos.