Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
f(x)=x^4-2 x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x)=x^4-2x^2, estudar onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, a partir disso, identificar todos os máximos e mínimos relativos e absolutos. Vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos, depois analisar o sinal de f'(x) para determinar monotonicidade e finalmente classificar os extremos.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada de f(x):
f'(x)=ddx(x^4-2x^2)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)
Os pontos onde f'(x)=0 são as raízes do polinômio:
4x(x-1)(x+1)=0Rightarrow x=-1,;0,;1

Passo 3

Agora estudamos o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado por esses pontos críticos:
  • Em x=-2: escolhemos f'(-2)=4(-2)(-3)(-1)<0, então f, logo (-1,0) é decrescente ali.
  • Em x=-0.5: escolhemos f'(-0.5)=4(-0.5)(-1.5)(0.5)>0, então f, logo (0,1) é crescente ali.
  • Em x=0.5: escolhemos f'(0.5)=4(0.5)(-0.5)(1.5)<0, então f, logo (1,+infty) é decrescente ali.
  • Em x=2: escolhemos f'(2)=4(2)(1)(3)>0, então f, logo é crescente ali.

Passo 4

Com base na mudança de sinal de f':
  • Em x=-1, f' vai de negativo para positivo ⇒ mínimo relativo.
  • Em x=0, f' vai de positivo para negativo ⇒ máximo relativo.
  • Em x=1, f' vai de negativo para positivo ⇒ mínimo relativo.

Passo 5

Calculamos os valores:
f(-1)=(-1)^4-2(-1)^2=1-2=-1, f(0)=0^4-2cdot0^2=0, f(1)=1^4-2cdot1^2=1-2=-1

Passo 6

Como f(x)to+infty quando xtopminfty, não há máximo absoluto, e o menor valor de f é -1, atingido em x=pm1.

Resposta

Pontos críticos: x=-1, 0 e 1.
\nIntervalos de monotonicidade:
  • Decrescente em (-∞, -1) ∪ (0, 1).
  • Crescente em (-1, 0) ∪ (1, +∞).
    \nExtremos:
  • Mínimos relativos e absolutos em x=-1 e x=1, com f(x)=-1.
  • Máximo relativo em x=0, com f(x)=0.
  • Não há máximo absoluto.

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