Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
, estudar onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, a partir disso, identificar todos os máximos e mínimos relativos e absolutos. Vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos, depois analisar o sinal de
para determinar monotonicidade e finalmente classificar os extremos.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada de
:
Os pontos onde
são as raízes do polinômio:
Passo 3
Agora estudamos o sinal de
em cada intervalo determinado por esses pontos críticos:
- Em
: escolhemos , então , logo é decrescente ali. - Em
: escolhemos , então , logo é crescente ali. - Em
: escolhemos , então , logo é decrescente ali. - Em
: escolhemos , então , logo é crescente ali.
Passo 4
Com base na mudança de sinal de
:
- Em
, vai de negativo para positivo ⇒ mínimo relativo. - Em
, vai de positivo para negativo ⇒ máximo relativo. - Em
, vai de negativo para positivo ⇒ mínimo relativo.
Passo 5
Calculamos os valores:
Passo 6
Como
quando
, não há máximo absoluto, e o menor valor de
é
, atingido em
.
Resposta
Pontos críticos: x=-1, 0 e 1.
\nIntervalos de monotonicidade:
\nIntervalos de monotonicidade:
- Decrescente em (-∞, -1) ∪ (0, 1).
- Crescente em (-1, 0) ∪ (1, +∞).
\nExtremos: - Mínimos relativos e absolutos em x=-1 e x=1, com f(x)=-1.
- Máximo relativo em x=0, com f(x)=0.
- Não há máximo absoluto.