Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
f(x)=x^4-2 x^2-36, x in[-2,2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos, no intervalo [-2,2], os pontos críticos de f(x)=x^4-2x^2-36, estudar onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com isso, identificar todos os máximos e mínimos, tanto relativos quanto absolutos. Vamos usar derivada de polinômios e análise de sinais de f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x):
f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
4x(x-1)(x+1) = 0 implies x = -1,0,1

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x) em cada subintervalo de [-2,2] formado pelos pontos críticos:
Para xin(-2,-1), com x=-1.5, temos f'(-1.5)=-7.5<0, então f é decrescente.
Para xin(-1,0), com x=-0.5, temos f'(-0.5)=0.375>0, então f é crescente.
Para xin(0,1), com x=0.5, temos f'(0.5)=-0.375<0, então f é decrescente.
Para xin(1,2), com x=1.5, temos f'(1.5)=7.5>0, então f é crescente.

Passo 5

Classificamos os pontos críticos:
Em x=-1 o sinal de f' muda de negativo para positivo, indicando um mínimo local;
Em x=0 o sinal muda de positivo para negativo, indicando um máximo local;
Em x=1 o sinal muda de negativo para positivo, indicando um mínimo local.

Passo 6

Calculamos os valores de f nos pontos críticos e nos extremos de [-2,2]:
f(-2)=-28, f(-1)=-37, f(0)=-36, f(1)=-37, f(2)=-28

Passo 7

Concluímos que os mínimos locais ocorrem em x=-1,1 com valor -37, o máximo local ocorre em x=0 com valor -36. Entre todos os pontos analisados, o valor maior é -28 em x=-2,2, caracterizando máximos absolutos, e o valor menor é -37 em x=-1,1, caracterizando mínimos absolutos.

Resposta

Pontos críticos: x = -1, 0, 1. f é estritamente decrescente em (-2,-1) e (0,1) e estritamente crescente em (-1,0) e (1,2). Os mínimos relativos e absolutos ocorrem em x = -1 e x = 1 com f = -37; o máximo relativo ocorre em x = 0 com f = -36; os máximos absolutos ocorrem em x = -2 e x = 2 com f = -28.

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