Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos, no intervalo
, os pontos críticos de
, estudar onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com isso, identificar todos os máximos e mínimos, tanto relativos quanto absolutos. Vamos usar derivada de polinômios e análise de sinais de
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Passo 4
Analisamos o sinal de
em cada subintervalo de
formado pelos pontos críticos:
Para , com
, temos
, então
é decrescente.
Para , com
, temos
, então
é crescente.
Para , com
, temos
, então
é decrescente.
Para , com
, temos
, então
é crescente.
Para
Para
Para
Para
Passo 5
Classificamos os pontos críticos:
Em o sinal de
muda de negativo para positivo, indicando um mínimo local;
Em o sinal muda de positivo para negativo, indicando um máximo local;
Em o sinal muda de negativo para positivo, indicando um mínimo local.
Em
Em
Em
Passo 6
Calculamos os valores de
nos pontos críticos e nos extremos de
:
Passo 7
Concluímos que os mínimos locais ocorrem em
com valor
, o máximo local ocorre em
com valor
. Entre todos os pontos analisados, o valor maior é
em
, caracterizando máximos absolutos, e o valor menor é
em
, caracterizando mínimos absolutos.
Resposta
Pontos críticos: x = -1, 0, 1. f é estritamente decrescente em (-2,-1) e (0,1) e estritamente crescente em (-1,0) e (1,2). Os mínimos relativos e absolutos ocorrem em x = -1 e x = 1 com f = -37; o máximo relativo ocorre em x = 0 com f = -36; os máximos absolutos ocorrem em x = -2 e x = 2 com f = -28.