Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo
e pede para encontrar pontos críticos, estudar as regiões de crescimento e decrescimento e, a partir disso, determinar máximos e mínimos relativos e absolutos. Vamos usar derivadas para isso.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
.
Os pontos críticos são os que anulam
:
e
. Como
, o único ponto crítico no domínio é
.
Passo 3
Agora vamos estudar o sinal de
para ver onde
cresce ou decresce:
- Para
, por exemplo : , então é estritamente crescente em . - Para
, por exemplo : , então é estritamente decrescente em .
Passo 4
Para identificar extremos, avaliamo-nos:
- No ponto crítico
, passa-se de crescente para decrescente, logo há um máximo relativo em com
- Nos extremos do intervalo:
Comparando
, o valor mínimo absoluto é
em
e o máximo absoluto é
em
. Não há mínimo relativo interior além dos extremos.
Passo 5
Resposta
Ponto crítico: x=0. f é crescente em [-2,0] e decrescente em [0,1]. Máximo relativo e absoluto em x=0 com f(0)=0. Mínimo absoluto em x=-2 com f(-2)=-16. Não há mínimo relativo interior.