Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
f(x)=x^3-2 x^2, x in[-2,1]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^3-2x^2 no intervalo [-2,1] e pede para encontrar pontos críticos, estudar as regiões de crescimento e decrescimento e, a partir disso, determinar máximos e mínimos relativos e absolutos. Vamos usar derivadas para isso.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f.
f'(x)=ddxl(x^3-2x^2r)=3x^2-4x=x(3x-4)
Os pontos críticos são os que anulam f'(x):
x=0 e x=4/3. Como 4/3notin[-2,1], o único ponto crítico no domínio é x=0.

Passo 3

Agora vamos estudar o sinal de f'(x) para ver onde f cresce ou decresce:
  • Para x<0, por exemplo x=-1: f'(-1)=3(1)-4(-1)=7>0, então f é estritamente crescente em [-2,0].
  • Para 0, por exemplo x=1: f'(1)=3-4=-1<0, então f é estritamente decrescente em [0,1].

Passo 4

Para identificar extremos, avaliamo-nos:
  • No ponto crítico x=0, passa-se de crescente para decrescente, logo há um máximo relativo em x=0 com
f(0)=0^3-2cdot0^2=0
  • Nos extremos do intervalo:
f(-2)=(-2)^3-2(-2)^2=-8-8=-16,
f(1)=1^3-2cdot1^2=1-2=-1
Comparando -16,0,-1, o valor mínimo absoluto é -16) em x=-2 e o máximo absoluto é 0 em x=0. Não há mínimo relativo interior além dos extremos.

Passo 5

Resposta

Ponto crítico: x=0. f é crescente em [-2,0] e decrescente em [0,1]. Máximo relativo e absoluto em x=0 com f(0)=0. Mínimo absoluto em x=-2 com f(-2)=-16. Não há mínimo relativo interior.

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