Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
y=34 x^4-81 x, x in]-2,4]

Passo 1

A função é y=tfrac34x^4 -81x com domínio xin(-2,4]. O conteúdo principal é cálculo de derivadas para achar pontos críticos, estudar monotonicidade e determinar extremos relativo e absoluto.

Passo 2

Calculemos a derivada usando a regra da potência. Derivando x^4 vem 4x^3, multiplicado por tfrac34 3x^3, e derivada de -81x é -81. Assim,
y'=3x^3-81

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, resolvemos y'=0:
3x^3-81=0Longrightarrow x^3=27Longrightarrow x=3

Passo 4

Como 3in(-2,4], é de fato um ponto crítico.

Passo 5

Agora analisamos o sinal de y': para x<3, x^3<27 então y'<0; para 3, x^3>27 então y'>0. Logo
decrescente em (-2,3),crescente em (3,4]

Passo 6

Em x=3 a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo relativo em x=3. No limite direito, como y'>0 até x=4, o ponto x=4 é um máximo relativo no bordo direito.

Passo 7

Finalmente, avaliemos os valores:
y(3)=tfrac34cdot3^4-81cdot3=tfrac34cdot81-243=tfrac2434-243=-tfrac7294,
y(4)=tfrac34cdot4^4-81cdot4=192-324=-132

Passo 8

No domínio aberto em -2, não existe valor em x=-2, mas conforme xto-2^+, yto174, que não é atingido. Assim, o menor valor real é y(3)=-tfrac7294 (mínimo absoluto) e não há máximo absoluto atingido no domínio.

Passo 9

Concluindo, o único ponto crítico é x=3, a função decresce em (-2,3) e cresce em (3,4], com mínimo relativo e absoluto em (3,-tfrac7294) e máximo relativo em (4,-132).

Resposta

Ponto crítico: x=3. Função decrescente em (-2,3) e crescente em (3,4]. Mínimo relativo e absoluto em (3,-729/4). Máximo relativo em (4,-132). Não há máximo absoluto.

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