Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
A função é
com domínio
. O conteúdo principal é cálculo de derivadas para achar pontos críticos, estudar monotonicidade e determinar extremos relativo e absoluto.
Passo 2
Calculemos a derivada usando a regra da potência. Derivando
vem
, multiplicado por
dá
, e derivada de
é
. Assim,
Passo 3
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
:
Passo 4
Como
, é de fato um ponto crítico.
Passo 5
Agora analisamos o sinal de
: para
,
então
; para
,
então
. Logo
Passo 6
Em
a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo relativo em
. No limite direito, como
até
, o ponto
é um máximo relativo no bordo direito.
Passo 7
Finalmente, avaliemos os valores:
Passo 8
No domínio aberto em
, não existe valor em
, mas conforme
,
, que não é atingido. Assim, o menor valor real é
(mínimo absoluto) e não há máximo absoluto atingido no domínio.
Passo 9
Concluindo, o único ponto crítico é
, a função decresce em
e cresce em
, com mínimo relativo e absoluto em
e máximo relativo em
.
Resposta
Ponto crítico: x=3. Função decrescente em (-2,3) e crescente em (3,4]. Mínimo relativo e absoluto em (3,-729/4). Máximo relativo em (4,-132). Não há máximo absoluto.