Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
y=3 x-x^3, x in[-raiz3, 32]

Passo 1

Temos a função y = 3x - x^3 definida no intervalo [-raiz3, tfrac32]. O conteúdo é derivada para achar crescimento/decrescimento e extremos relativos e absolutos; vamos precisar de cálculo de y', análise de sinal e avaliação nos pontos críticos e extremos do domínio.

Passo 2

Calculamos a derivada usando regra de potência:
y' = ddx(3x) - ddx(x^3) = 3 - 3x^2 = 3(1 - x^2)
Anulando y', temos pontos críticos em x = pm1, que pertencem ao domínio.

Passo 3

Para estudar a monotonicidade, analisamos o sinal de y' = 3(1-x^2):
  • Se |x| < 1, então 1 - x^2 > 0 e y' > 0 → função estritamente crescente em (-1,1).
  • Se |x| > 1, então 1 - x^2 < 0 e y' < 0 → função estritamente decrescente em (-raiz3, -1) e (1, tfrac32).

Passo 4

Agora avaliamos y nos pontos críticos e nos extremos do domínio:
y(-raiz3) = 3(-raiz3) - (-raiz3)^3 = -3raiz3 + 3raiz3 = 0
y(-1) = 3(-1) - (-1)^3 = -3 + 1 = -2
y(1) = 3(1) - 1^3 = 3 - 1 = 2
yl(tfrac32r) = 3cdottfrac32 - l(tfrac32r)^3 = tfrac92 - tfrac278 = tfrac9cdot4 - 278 = tfrac36 - 278 = tfrac98 = 1,125

Passo 5

Observando as trocas de sinal de y':
  • Em x = -1, y' passa de negativo para positivo → mínimo local em (-1,-2).
  • Em x = 1, y' passa de positivo para negativo → máximo local em (1,2).
    Comparando com valores nos extremos do domínio, vemos que o menor valor é -2) em x=-1 e o maior é 2 em x=1, sendo assim mínimos e máximos absolutos também.

Passo 6

Resumo dos intervalos:
  • Estritamente decrescente em [-raiz3, -1) e em (1, tfrac32].
  • Estritamente crescente em (-1,1).

Resposta

Pontos críticos: x=-1 e x=1.
Intervalos de monotonicidade:
  • Decrescente em [-raiz3, -1) e (1, tfrac32].
  • Crescente em (-1,1).
Extremos:
  • Mínimo local e absoluto em x=-1, com y=-2.
  • Máximo local e absoluto em x=1, com y=2.

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