Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
Temos a função
definida no intervalo
. O conteúdo é derivada para achar crescimento/decrescimento e extremos relativos e absolutos; vamos precisar de cálculo de
, análise de sinal e avaliação nos pontos críticos e extremos do domínio.
Passo 2
Calculamos a derivada usando regra de potência:
Anulando
, temos pontos críticos em
, que pertencem ao domínio.
Passo 3
Para estudar a monotonicidade, analisamos o sinal de
:
- Se
, então e → função estritamente crescente em . - Se
, então e → função estritamente decrescente em e .
Passo 4
Agora avaliamos
nos pontos críticos e nos extremos do domínio:
Passo 5
Observando as trocas de sinal de
:
- Em
, passa de negativo para positivo → mínimo local em . - Em
, passa de positivo para negativo → máximo local em .
Comparando com valores nos extremos do domínio, vemos que o menor valor éem e o maior é em , sendo assim mínimos e máximos absolutos também.
Passo 6
Resumo dos intervalos:
- Estritamente decrescente em
e em . - Estritamente crescente em
.
Resposta
Pontos críticos:
e
.
Intervalos de monotonicidade:
- Decrescente em
e . - Crescente em
.
Extremos:
- Mínimo local e absoluto em
, com . - Máximo local e absoluto em
, com .