Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
Estamos com a função
, domínio
. O conteúdo é derivadas para estudar monotonia e extremos. Vamos precisar calcular a derivada, achar pontos críticos, estudar o sinal da derivada e classificar os extremos.
Passo 2
Derivamos a função.
Resolvendo
:
Esses são os pontos críticos.
Passo 3
Estudamos o sinal de
. Como é uma parábola voltada para cima, temos:
Logo a função é crescente em
Passo 4
Para classificar extremos: onde
muda de + para – temos máximo relativo; onde muda de – para + temos mínimo relativo. Em
,
vai de + para –, logo máximo relativo. Em
,
vai de – para +, logo mínimo relativo.
Passo 5
Chamando
, calculamos os valores:
Logo o máximo relativo é em
e o mínimo relativo em
.
Passo 6
Como é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo,
e
. Portanto não há máximo nem mínimo absoluto finito.
Resposta
Pontos críticos:
. A função cresce em
e decresce em
. Máximo relativo em
com valor
. Mínimo relativo em
com valor
. Não há máximos nem mínimos absolutos finitos.