Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
y=x^3-2 x+1, x in]-infty, infty[

Passo 1

Estamos com a função y = x^3 - 2x + 1, domínio R. O conteúdo é derivadas para estudar monotonia e extremos. Vamos precisar calcular a derivada, achar pontos críticos, estudar o sinal da derivada e classificar os extremos.

Passo 2

Derivamos a função.
f'(x) = 3x^2 - 2
Resolvendo f'(x)=0:
3x^2 - 2 = 0 ,Rightarrow, x^2 = tfrac23 ,Rightarrow, x = pmraiztfrac23
Esses são os pontos críticos.

Passo 3

Estudamos o sinal de f'(x)=3x^2-2. Como é uma parábola voltada para cima, temos:
f'(x)>0 se |x|>raiztfrac23, f'(x)<0 se |x|
Logo a função é crescente em ( -infty, -raiztfrac23 ) e ( raiztfrac23, infty ), e decrescente em ( -raiztfrac23, raiztfrac23 ).

Passo 4

Para classificar extremos: onde f' muda de + para – temos máximo relativo; onde muda de – para + temos mínimo relativo. Em x=-raiztfrac23, f' vai de + para –, logo máximo relativo. Em x=raiztfrac23, f' vai de – para +, logo mínimo relativo.

Passo 5

Chamando a=raiztfrac23, calculamos os valores:
f(-a) = (-a)^3 - 2(-a) + 1 = -a^3 + 2a + 1 = 43raiztfrac23 + 1,
f(a) = a^3 - 2a + 1 = -43raiztfrac23 + 1
Logo o máximo relativo é em (-raiztfrac23,, tfrac43raiztfrac23+1) e o mínimo relativo em (raiztfrac23,,1-tfrac43raiztfrac23).

Passo 6

Como é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, limxto-inftyf(x)=-infty e limxto+inftyf(x)=+infty. Portanto não há máximo nem mínimo absoluto finito.

Resposta

Pontos críticos: x=pmraiztfrac23. A função cresce em ( -infty, -raiztfrac23 )cup( raiztfrac23, infty ) e decresce em ( -raiztfrac23, raiztfrac23 ). Máximo relativo em x=-raiztfrac23 com valor tfrac43raiztfrac23+1. Mínimo relativo em x=raiztfrac23 com valor 1-tfrac43raiztfrac23. Não há máximos nem mínimos absolutos finitos.

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