Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
y=x^3-2 x+1, x in[-1,4]

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função y=x^3-2x+1 no intervalo [-1,4], estudar onde ela cresce ou decresce e, a partir disso, encontrar todos os máximos e mínimos relativos e absolutos. Para isso, vamos usar a derivada primeira e o teste da primeira derivada.

Passo 2

Calcular a derivada primeira e entender a teoria por trás: a derivada de x^3 é 3x^2 e a de -2x é -2. Assim,
y'=3x^2-2

Passo 3

Para achar pontos críticos, igualamos y'=0 (e verificamos onde ela não existe, mas aqui existe para todo x):
3x^2-2=0 implies x^2=tfrac23 implies x=pmraiztfrac23=pmraiz63

Passo 4

Agora, estudamos o sinal de y'. Note que
y'>0iff3x^2-2>0iff x^2>tfrac23iff |x|>tfracraiz63, y'<0iff|x|

Passo 5

Restrito a [-1,4], isso gera três partes:
  • Para -1<= x< -tfracraiz63, temos |x|>tfracraiz63 e y'>0 ⇒ crescente.
  • Para -tfracraiz63, temos |x| e y'<0 ⇒ decrescente.
  • Para tfracraiz63, temos |x|>tfracraiz63 e y'>0 ⇒ crescente.

Passo 6

Pelo teste da primeira derivada, em x=-tfracraiz63 a função passa de crescente para decrescente ⇒ máximo relativo; em x=tfracraiz63 passa de decrescente para crescente ⇒ mínimo relativo.

Passo 7

Para achar máximos e mínimos absolutos no intervalo fechado, avaliamos y em x=-1, -tfracraiz63, tfracraiz63, 4:
y(-1)=(-1)^3-2(-1)+1=2
yl(-tfracraiz63r)=l(-tfracraiz63r)^3-2l(-tfracraiz63r)+1=1+tfrac4raiz69
yl(tfracraiz63r)=1-tfrac4raiz69
y(4)=4^3-2cdot4+1=57

Passo 8

Comparando esses valores, o maior é 57 e o menor é 1-tfrac4raiz69.

Resposta

Pontos críticos: x=-\tfrac{\sqrt6}{3} (máximo relativo) e x=\tfrac{\sqrt6}{3} (mínimo relativo).
A função é estritamente crescente em [-1, -\tfrac{\sqrt6}{3}) e (\tfrac{\sqrt6}{3},4], e estritamente decrescente em (-\tfrac{\sqrt6}{3}, \tfrac{\sqrt6}{3}).
Máximos e mínimos:
Máximo relativo em x=-\tfrac{\sqrt6}{3}, y=1+\tfrac{4\sqrt6}{9}.
Mínimo relativo em x=\tfrac{\sqrt6}{3}, y=1-\tfrac{4\sqrt6}{9}.
Máximo absoluto em x=4, y=57.
Mínimo absoluto em x=\tfrac{\sqrt6}{3}, y=1-\tfrac{4\sqrt6}{9}.

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