Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
no intervalo
, estudar onde ela cresce ou decresce e, a partir disso, encontrar todos os máximos e mínimos relativos e absolutos. Para isso, vamos usar a derivada primeira e o teste da primeira derivada.
Passo 2
Calcular a derivada primeira e entender a teoria por trás: a derivada de
é
e a de
é
. Assim,
Passo 3
Para achar pontos críticos, igualamos
(e verificamos onde ela não existe, mas aqui existe para todo
):
Passo 4
Agora, estudamos o sinal de
. Note que
Passo 5
Restrito a
, isso gera três partes:
- Para
, temos e ⇒ crescente. - Para
, temos e ⇒ decrescente. - Para
, temos e ⇒ crescente.
Passo 6
Pelo teste da primeira derivada, em
a função passa de crescente para decrescente ⇒ máximo relativo; em
passa de decrescente para crescente ⇒ mínimo relativo.
Passo 7
Para achar máximos e mínimos absolutos no intervalo fechado, avaliamos
em
:
Passo 8
Comparando esses valores, o maior é
e o menor é
.
Resposta
Pontos críticos: x=-\tfrac{\sqrt6}{3} (máximo relativo) e x=\tfrac{\sqrt6}{3} (mínimo relativo).
A função é estritamente crescente em [-1, -\tfrac{\sqrt6}{3}) e (\tfrac{\sqrt6}{3},4], e estritamente decrescente em (-\tfrac{\sqrt6}{3}, \tfrac{\sqrt6}{3}).
Máximos e mínimos:
Máximo relativo em x=-\tfrac{\sqrt6}{3}, y=1+\tfrac{4\sqrt6}{9}.
Mínimo relativo em x=\tfrac{\sqrt6}{3}, y=1-\tfrac{4\sqrt6}{9}.
Máximo absoluto em x=4, y=57.
Mínimo absoluto em x=\tfrac{\sqrt6}{3}, y=1-\tfrac{4\sqrt6}{9}.
A função é estritamente crescente em [-1, -\tfrac{\sqrt6}{3}) e (\tfrac{\sqrt6}{3},4], e estritamente decrescente em (-\tfrac{\sqrt6}{3}, \tfrac{\sqrt6}{3}).
Máximos e mínimos:
Máximo relativo em x=-\tfrac{\sqrt6}{3}, y=1+\tfrac{4\sqrt6}{9}.
Mínimo relativo em x=\tfrac{\sqrt6}{3}, y=1-\tfrac{4\sqrt6}{9}.
Máximo absoluto em x=4, y=57.
Mínimo absoluto em x=\tfrac{\sqrt6}{3}, y=1-\tfrac{4\sqrt6}{9}.