Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
y=sen 2 x, x in] 0,2 pi[

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos, estudar a monotonicidade e identificar máximos e mínimos relativos e absolutos da função y=sin2x no intervalo ]0,2pi[. Vamos usar derivada primeira para monotonicidade e teste de troca de sinal para classificar extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada de y=sin2x. Usando regra da cadeia:
y'=2cos2x

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem quando y'=0, ou seja cos2x=0. Então
2x=pi2+kpiimplies x=pi4+kpi2
No intervalo 0 temos quatro valores:
x=pi4,;3pi4,;5pi4,;7pi4

Passo 4

Para estudar sinais de y'=2cos2x dividimos o domínio em intervalos entre esses pontos e escolhemos um teste em cada:
– Em (0,pi/4): 2x está em (0,pi/2) e cos2x>0 y'>0 (crescente).
– Em (pi/4,3pi/4): 2x em (pi/2,3pi/2) e cos2x<0 y'<0 (decrescente).
– Em (3pi/4,5pi/4): 2x em (3pi/2,5pi/2) e cos2x>0 y'>0 (crescente).
– Em (5pi/4,7pi/4): 2x em (5pi/2,7pi/2) e cos2x<0 y'<0 (decrescente).
– Em (7pi/4,2pi): 2x em (7pi/2,4pi) e cos2x>0 y'>0 (crescente).

Passo 5

Ao analisar a troca de sinal de y' em cada ponto crítico:
– Em x=pi/4: cresce → decresce ⇒ máximo relativo.
– Em x=3pi/4: decresce → cresce ⇒ mínimo relativo.
– Em x=5pi/4: cresce → decresce ⇒ máximo relativo.
– Em x=7pi/4: decresce → cresce ⇒ mínimo relativo.

Passo 6

Como sin2x varia entre −1 e 1, vemos que nos máximos relativos ( x=pi/4,5pi/4) temos y=1 que é valor máximo possível, então são também máximos absolutos. Nos mínimos relativos ( x=3pi/4,7pi/4) temos y=-1 que é mínimo possível, logo são mínimos absolutos.

Resposta

Pontos críticos: x=pi/4,;3pi/4,;5pi/4,;7pi/4.
Função estritamente crescente em (0,pi/4)cup(3pi/4,5pi/4)cup(7pi/4,2pi).
Função estritamente decrescente em (pi/4,3pi/4)cup(5pi/4,7pi/4).
Máximos relativos e absolutos em x=pi/4,;5pi/4 com y=1.
Mínimos relativos e absolutos em x=3pi/4,;7pi/4 com y=-1.

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