Determine os pontos críticos da função dada, estude onde ela é estritamente crescente ou decrescente e, com base nisto, encontre todos os máximos e mínimos relativos e absolutos da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos, estudar a monotonicidade e identificar máximos e mínimos relativos e absolutos da função
no intervalo
. Vamos usar derivada primeira para monotonicidade e teste de troca de sinal para classificar extremos.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Usando regra da cadeia:
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem quando
, ou seja
. Então
No intervalo
Passo 4
Para estudar sinais de
dividimos o domínio em intervalos entre esses pontos e escolhemos um teste em cada:
– Em : 2x está em
e
⇒
(crescente).
– Em : 2x em
e
⇒
(decrescente).
– Em : 2x em
e
⇒
(crescente).
– Em : 2x em
e
⇒
(decrescente).
– Em : 2x em
e
⇒
(crescente).
– Em
– Em
– Em
– Em
– Em
Passo 5
Ao analisar a troca de sinal de
em cada ponto crítico:
– Em : cresce → decresce ⇒ máximo relativo.
– Em : decresce → cresce ⇒ mínimo relativo.
– Em : cresce → decresce ⇒ máximo relativo.
– Em : decresce → cresce ⇒ mínimo relativo.
– Em
– Em
– Em
– Em
Passo 6
Como
varia entre −1 e 1, vemos que nos máximos relativos (
) temos
que é valor máximo possível, então são também máximos absolutos. Nos mínimos relativos (
) temos
que é mínimo possível, logo são mínimos absolutos.
Resposta
Pontos críticos:
.
Função estritamente crescente em .
Função estritamente decrescente em .
Máximos relativos e absolutos em com
.
Mínimos relativos e absolutos em com
.
Função estritamente crescente em
Função estritamente decrescente em
Máximos relativos e absolutos em
Mínimos relativos e absolutos em