Suponha que exista o limite de
em um ponto
. Mostre que esse limite é único.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite de funções reais, que se
existe então esse limite não pode assumir dois valores diferentes. Vamos usar noções de
-
e desigualdade triangular.
Passo 2
Suponha, por contradição, que existam dois limites distintos
e
tais que
e
Passo 3
Pela definição de limite, para qualquer
existem
e
tais que sempre que
então
, e quando
então
. Seja
Então, se
, valem as duas desigualdades.
Passo 4
Usando a desigualdade triangular temos
Como isso vale para todo
, segue que
e, portanto,
.