Suponha que exista o limite de f: B R em um ponto a. Mostre que esse limite é único.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite de funções reais, que se limxto af(x) existe então esse limite não pode assumir dois valores diferentes. Vamos usar noções de varepsilon- de e desigualdade triangular.

Passo 2

Suponha, por contradição, que existam dois limites distintos L e M tais que
limxto af(x)=L
e
limxto af(x)=M

Passo 3

Pela definição de limite, para qualquer varepsilon>0 existem de0 e de0 tais que sempre que 0<|x-a| então |f(x)-L|, e quando 0<|x-a| então |f(x)-M|. Seja
de
Então, se 0<|x-a|, valem as duas desigualdades.

Passo 4

Usando a desigualdade triangular temos
|L-M|=|L-f(x)+f(x)-M|<=|L-f(x)|+|f(x)-M|
Como isso vale para todo varepsilon>0, segue que |L-M|=0 e, portanto, L=M.

Resposta

L=M

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