Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se ela é contínua e derivável em
. Vamos usar teoria de continuidade de composições e a definição de derivada via limite do quociente incremental.
Passo 2
Para a continuidade em
, precisamos checar se
. Temos
. Como
implica
e
é contínua, vale
. Logo
é contínua em 0.
Passo 3
Para a derivabilidade em
, usamos a definição
Vamos separar os limites laterais. Para
, ponha
com
. Então
pois
.
Para , escreva
com
. Então
Para
Passo 4
Como os limites laterais são diferentes (
e
), o limite do quociente incremental não existe. Portanto,
não é derivável em 0.
Resposta
A função é contínua em
, mas não é derivável nesse ponto.