Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo: f(x)=cos (raiz|x|), x0=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=cosl(raiz|x|r) e pede para verificar se ela é contínua e derivável em x0=0. Vamos usar teoria de continuidade de composições e a definição de derivada via limite do quociente incremental.

Passo 2

Para a continuidade em x=0, precisamos checar se limxto0f(x)=f(0). Temos f(0)=cos(raiz|0|)=cos0=1. Como |x|to0 implica raiz|x|to0 e cos é contínua, vale limxto0cos(raiz|x|)=cos0=1. Logo f é contínua em 0.

Passo 3

Para a derivabilidade em x=0, usamos a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=limhto0cosl(raiz|h|r)-1h
Vamos separar os limites laterais. Para h>0, ponha h=t^2 com tto0^+. Então
cos(raizh)-1h=cos t-1t^2to-tfrac12
pois cos t-1sim-tfract^22.
Para h<0, escreva h=-t^2 com tto0^+. Então
cos(raiz|h|)-1h=cos t-1-t^2=-cos t-1t^2to+tfrac12

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes ( -1/2 e +1/2), o limite do quociente incremental não existe. Portanto, f não é derivável em 0.

Resposta

A função é contínua em x0=0, mas não é derivável nesse ponto.

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