Determine os pontos críticos da função f(x)=|x-1|.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: Determinar os pontos críticos da função f(x)=|x-1|.
  • Informação dada: a função é a função valor absoluto deslocada em 1; o domínio implícito é \mathbb{R}.
  • Lembrete: vou procurar pontos onde a derivada existe e é zero, ou onde a derivada não existe — esses são, por definição, os pontos críticos.

Passo 2

Definição útil (explicada passo a passo):
  • Um ponto x_0 do domínio de f é chamado de ponto crítico se ou f'(x_0)=0ou a derivada f' não existe em x_0.
  • Para aplicar isso, preciso primeiro obter a expressão da derivada de f. Como f envolve valor absoluto, vou escrever f de forma peça a peça e derivar em cada região.

Passo 3

Escrever a função como peça a peça (isto é padrão para valor absoluto):
f(x)=|x-1|=\begin{cases} 1-x, & x<1,\\[4pt] 0, & x=1,\\[4pt] x-1, & x>1. \end{cases}
Explicação: para x<1 temos x-1<0 então |x-1|=-(x-1)=1-x; para x>1 temos x-1>0 então |x-1|=x-1; em x=1 o valor é 0.]

Passo 4

Derivar em cada ramo onde a função é diferenciável:
  • Para x<1: f(x)=1-x. A derivada é a derivada da reta 1-x, que é constante f'(x)=-1 \quad\text{para } x<1.(Justificativa: derivada de 1 é 0 e de -x é -1.)
  • Para x>1: f(x)=x-1. A derivada é f'(x)=1 \quad\text{para } x>1.(Justificativa: derivada de x é 1 e de -1 é 0.)

Passo 5

Verificar a derivada em x=1 por derivadas laterais (limites diferenciais):
  • Primeiro calcule f(1)=|1-1|=0.
  • Derivada pelo lado esquerdo: f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{1-(1+h)-0}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1.
  • Derivada pelo lado direito: f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{(1+h)-1-0}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1.
  • Como f'_-(1)=-1 e f'_+(1)=1 e esses dois valores são diferentes, a derivada f'(1) não existe. Portanto x=1 é um ponto onde a derivada não existe.

Passo 6

Aplicar a definição de ponto crítico:
  • Em x<1 temos f'(x)=-1, que não é zero.
  • Em x>1 temos f'(x)=1, que não é zero.
  • Em x=1 a derivada não existe, portanto, pela definição, x=1 é um ponto crítico.
  • Observação extra (útil na prova): f(1)=0 é o valor mínimo global da função, então x=1 é também um ponto de mínimo global.

Resposta

x=1

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