Explique por que a função f(x)=1 / x não possui um máximo absoluto no intervalo (0,1].

Passo 1

O enunciado pede que se explique por que a função f(x)=\dfrac{1}{x} não possui máximo absoluto no intervalo (0,1].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O domínio considerado é o intervalo (0,1], ou seja, todos os x tais que 0<x\le 1.
  • A pergunta é afirmar e justificar que não existe um ponto c\in(0,1] tal que f\text{(c)} seja o maior valor de f em todo o intervalo.

Passo 2

Definição útil (muito importante para a prova): dizemos que f tem um máximo absoluto no intervalo (0,1] se existe algum ponto c\in(0,1] tal que, para todo x\in(0,1], tenha-se
f(x)\le f\text{(c)}.
Ou seja, f\text{(c)} é maior ou igual a todos os valores f(x) no intervalo. Para provar que não existe máximo absoluto, basta mostrar que nenhum ponto c\in(0,1] pode ter essa propriedade.

Passo 3

Observação simples sobre recíprocos: se 0<a<b então \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}. Em palavras: para números positivos, ao inverter a ordem (tomar o recíproco) a desigualdade se inverte.

Passo 4

Agora aplicamos isso à função f(x)=\dfrac{1}{x}. Tome um ponto qualquer c\in(0,1]. Como c>0, é possível escolher um número x com
0<x<c.
Por exemplo, pode-se escolher x=\dfrac{c}{2}, que pertence a (0,1] porque c\le 1 implica x\le \tfrac{1}{2} e x>0.

Passo 5

Pelo fato observado no Passo 3, tendo 0<x<c segue que
f(x)=\frac{1}{x}>\frac{1}{c}=f\text{(c)}.
Portanto, para qualquer candidato c\in(0,1] existe outro ponto x\in(0,1] com f(x)>f\text{(c)}. Isso impede que f\text{(c)} seja um máximo absoluto.

Passo 6

Conclusão alternativa (intuição extra que ajuda a entender o caso): a função f é estritamente decrescente em (0,1] (por exemplo, f'(x)=-1/x^{2}<0), então os maiores valores de f estão mais próximos de 0. Mas como 0 não pertence ao intervalo (0,1], esses valores arbitrariamente grandes nunca são atingidos num ponto do intervalo — formalmente, \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty, logo f não é limitada superiormente e não tem máximo.

Resposta

A função f(x)=\dfrac{1}{x} não possui máximo absoluto no intervalo (0,1], pois para qualquer c\in(0,1] pode-se escolher x\in(0,1] com 0<x<c (por exemplo x=\tfrac{c}{2}), e então f(x)=\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{c}=f\text{(c)}, mostrando que nenhum c é maior ou igual a todos os valores de f no intervalo.

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