Explique por que a função
não possui um máximo absoluto no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede que se explique por que a função
não possui máximo absoluto no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio considerado é o intervalo
, ou seja, todos os tais que . - A pergunta é afirmar e justificar que não existe um ponto
tal que seja o maior valor de em todo o intervalo.
Passo 2
Definição útil (muito importante para a prova): dizemos que
tem um máximo absoluto no intervalo
se existe algum ponto
tal que, para todo
, tenha-se
Ou seja,
é maior ou igual a todos os valores
no intervalo. Para provar que não existe máximo absoluto, basta mostrar que nenhum ponto
pode ter essa propriedade.
Passo 3
Observação simples sobre recíprocos: se
então
. Em palavras: para números positivos, ao inverter a ordem (tomar o recíproco) a desigualdade se inverte.
Passo 4
Agora aplicamos isso à função
. Tome um ponto qualquer
. Como
, é possível escolher um número
com
Por exemplo, pode-se escolher
, que pertence a
porque
implica
e
.
Passo 5
Pelo fato observado no Passo 3, tendo
segue que
Portanto, para qualquer candidato
existe outro ponto
com
. Isso impede que
seja um máximo absoluto.
Passo 6
Conclusão alternativa (intuição extra que ajuda a entender o caso): a função
é estritamente decrescente em
(por exemplo,
), então os maiores valores de
estão mais próximos de
. Mas como
não pertence ao intervalo
, esses valores arbitrariamente grandes nunca são atingidos num ponto do intervalo — formalmente,
, logo
não é limitada superiormente e não tem máximo.
Resposta
A função
não possui máximo absoluto no intervalo
, pois para qualquer
pode-se escolher
com
(por exemplo
), e então
, mostrando que nenhum
é maior ou igual a todos os valores de
no intervalo.