Determine os pontos críticos da função f(x, y)=x cdot y^2 cdot e^x+y

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=x,y^2,e^x+y. O conteúdo aqui é encontrar derivadas parciais, igualá-las a zero e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais fx e fy. Usando regra do produto e cadeia:
fx=partialpartial xl(x,y^2,e^x+yr)=y^2,e^x+y+x,y^2,e^x+y=y^2,e^x+y(x+1),
fy=partialpartial yl(x,y^2,e^x+yr)=2x,y,e^x+y+x,y^2,e^x+y=x,y,e^x+y(y+2)

Passo 3

Como e^x+y>0 nunca anula, o sistema fx=0,,fy=0 reduz-se a
y^2(x+1)=0, x,y(y+2)=0

Passo 4

Agora resolvemos o sistema fatorial por casos:
  • Caso y=0: satisfaz y^2(x+1)=0 e anula fy para qualquer x.
  • Caso x+1=0 i.e. x=-1: de fy=0 vem y(y+2)=0 levando a y=0 ou y=-2.
  • Os outros casos x=0 ou y+2=0 geram pontos já encontrados.

Passo 5

Combinando os resultados, temos como soluções a reta y=0 (com qualquer x) e o ponto isolado (-1,-2).

Resposta

Os pontos críticos são todos os (x,0), com xinR, e o ponto isolado (-1,-2).

Exercícios relacionados