O potencial numa região do espaço é varphi(x, y, z)=a x^4+b z, onde a e b são constantes. Calcule a carga total dentro de uma esfera com centro na origem e raio R0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá o potencial elétrico numa região do espaço, que é varphi(x, y, z) = a x^4 + b z, onde a e b são constantes. A gente precisa calcular a carga total dentro de uma esfera com centro na origem e raio R0. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o potencial elétrico e a distribuição de carga, através da Equação de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Equação de Poisson, que relaciona o potencial elétrico varphi com a densidade de carga rho:
nabla^2 varphi = -rhovarepsilon0
Aqui, nabla^2 é o operador Laplaciano e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular o Laplaciano do potencial dado varphi(x, y, z) = a x^4 + b z. O Laplaciano em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla^2 varphi = partial^2 varphipartial x^2 + partial^2 varphipartial y^2 + partial^2 varphipartial z^2
Vamos calcular cada segunda derivada:
  1. Com relação a x:
partial varphipartial x = 4a x^3 partial^2 varphipartial x^2 = 12a x^2
  1. Com relação a y:
partial varphipartial y = 0 partial^2 varphipartial y^2 = 0
  1. Com relação a z:
partial varphipartial z = b partial^2 varphipartial z^2 = 0
Então, o Laplaciano fica:
nabla^2 varphi = 12a x^2 + 0 + 0 = 12a x^2

Passo 4

Agora, usando a Equação de Poisson, podemos relacionar o Laplaciano do potencial com a densidade de carga:
12a x^2 = -rhovarepsilon0 implies rho = -12a varepsilon0 x^2
Então, a densidade de carga é rho(x, y, z) = -12a varepsilon0 x^2.

Passo 5

Para encontrar a carga total Q dentro da esfera de raio R0, precisamos integrar a densidade de carga sobre o volume da esfera:
Q = integralV rho , dV
Devido à simetria da esfera, é mais fácil fazer essa integração em coordenadas esféricas. Lembrando que x = r sintheta cosphi, o volume diferencial em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Substituindo rho na integral:
Q = -12a varepsilon0 integral0^R0 integral0^pi integral0^2pi (r sintheta cosphi)^2 r^2 sintheta , dphi , dtheta , dr

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Q = -12a varepsilon0 integral0^R0 r^2 cdot r^2 integral0^pi sin^3theta , dtheta integral0^2pi cos^2phi , dphi , dr
Calculando as integrais:
  1. Integral em phi:
integral0^2pi cos^2phi , dphi = pi
  1. Integral em theta:
integral0^pi sin^3theta , dtheta = 43
  1. Integral em r:
integral0^R0 r^4 , dr = R0^55
Substituindo na expressão de Q:
Q = -12a varepsilon0 cdot R0^55 cdot 43 cdot pi = -4815 a varepsilon0 pi R0^5 = -165 a varepsilon0 pi R0^5

Resposta

A carga total dentro da esfera é
Q = -165 , a , varepsilon0 , pi , R0^5

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