O potencial numa região do espaço é
, onde
e
são constantes. Calcule a carga total dentro de uma esfera com centro na origem e raio
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá o potencial elétrico numa região do espaço, que é
, onde
e
são constantes. A gente precisa calcular a carga total dentro de uma esfera com centro na origem e raio
. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o potencial elétrico e a distribuição de carga, através da Equação de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Equação de Poisson, que relaciona o potencial elétrico
com a densidade de carga
:
Aqui,
é o operador Laplaciano e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Nosso próximo passo é calcular o Laplaciano do potencial dado
. O Laplaciano em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada segunda derivada:
- Com relação a
:
- Com relação a
:
- Com relação a
:
Então, o Laplaciano fica:
Passo 4
Agora, usando a Equação de Poisson, podemos relacionar o Laplaciano do potencial com a densidade de carga:
Então, a densidade de carga é
.
Passo 5
Para encontrar a carga total
dentro da esfera de raio
, precisamos integrar a densidade de carga sobre o volume da esfera:
Devido à simetria da esfera, é mais fácil fazer essa integração em coordenadas esféricas. Lembrando que
, o volume diferencial em coordenadas esféricas é:
Substituindo
na integral:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Calculando as integrais:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
A carga total dentro da esfera é