Determine o raio de convergências para a seguinte série:
sumn=1^infty n(x-2)^ne^n

Passo 1

Neste exercício temos a série de potências centrada em 2 dada por sumn=1^infty n(x-2)^ne^n. O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos precisar usar o teste da raiz (ou da razão) para descobrir o raio de convergência.

Passo 2

O teste da raiz diz que para a série sum an (x-2)^n convergir, devemos ter limsupntoinfty raiz[n]|an (x-2)^n|<1. Aqui an=ne^n.
Vamos calcular o n-ésimo da raiz:
raiz[n]gl|n(x-2)^ne^ngr| =raiz[n]ne^n,|x-2| =n^1/ne,|x-2|

Passo 3

Como limntoinftyn^1/n=1, o limite do teste da raiz fica
limntoinftyn^1/ne,|x-2|=|x-2|e

Passo 4

Para convergir precisamos de |x-2|e<1, ou seja |x-2|. Portanto o raio de convergência é e.

Resposta

R = e

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