(2.0) Seja a função
f(x, y)=ln (x^2+x y+y^2)
Mostre que f satisfaz a equação
x partial fpartial x+y partial fpartial y=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=ln(x2+xy+y2)
satisfaz a identidade x·∂f/∂x + y·∂f/∂y = 2. O conteúdo envolve derivadas parciais e a regra da cadeia aplicada a funções do tipo ln de expressão quadrática.

Passo 2

Como f(x,y)=ln(g(x,y)) com g(x,y)=x2+xy+y2, pela regra da cadeia temos
partial fpartial x = 1gpartial gpartial x = 2x+yx^2+xy+y^2, partial fpartial fpartial y = 1gpartial gpartial y = x+2yx^2+xy+y^2

Passo 3

Agora calculamos x·∂f/∂x + y·∂f/∂y. Substituindo as derivadas obtidas:
xcdot2x+yx^2+xy+y^2+ycdotx+2yx^2+xy+y^2 = 2x^2+xy+xy+2y^2x^2+xy+y^2 = 2(x^2+xy+y^2)x^2+xy+y^2 =2

Passo 4

Portanto, está demonstrado que x·∂f/∂x + y·∂f/∂y = 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados