Determine os pontos críticos da função. Esses pontos críticos são de máximo, mínimo ou inflexão?
c f(x)=-x^3+3 x^2+9 x+10 f^prime(x)=-3(x-3)(x+1)

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de cálculo que pede para a gente encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 9x + 10 $ e determinar se esses pontos são de máximo, mínimo ou inflexão. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas, pontos críticos e como identificar o tipo de cada ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos críticos de uma função são os valores de $ x $ onde a derivada primeira $ f’(x) $ é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque eles podem indicar onde a função atinge máximos ou mínimos locais, ou até pontos de inflexão.

Passo 3

No enunciado, já nos deram a derivada primeira da função:
f'(x) = -3(x - 3)(x + 1)
Para encontrar os pontos críticos, vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Dividindo ambos os lados por -3 (que não afeta a igualdade):
-3(x - 3)(x + 1) = 0

Passo 4

Agora, resolvemos cada fator igualado a zero:
x - 3 = 0 Rightarrow x = 3
x + 1 = 0 Rightarrow x = -1
Então, os pontos críticos ocorrem em $ x = 3 $ e $ x = -1 $.

Passo 5

Para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $.
A derivada primeira é:
f''(x)
Derivando novamente:
f'(x) = -3(x - 3)(x + 1) = -3x^2 - 3x + 9

Passo 6

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Como $ f’’(3) < 0 $, isso indica que $ x = 3 $ é um ponto de máximo local.
Para $ x = -1 $:
f''(3) = -6(3) - 3 = -18 - 3 = -21
Como $ f’’(-1) > 0 $, isso indica que $ x = -1 $ é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são $ x = 3 $ (máximo local) e $ x = -1 $ (mínimo local).

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