Determine os pontos críticos da função. Esses pontos críticos são de máximo, mínimo ou inflexão?
Passo 1
Beleza, então temos um exercício de cálculo que pede para a gente encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 9x + 10 $ e determinar se esses pontos são de máximo, mínimo ou inflexão. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas, pontos críticos e como identificar o tipo de cada ponto crítico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os pontos críticos de uma função são os valores de $ x $ onde a derivada primeira $ f’(x) $ é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque eles podem indicar onde a função atinge máximos ou mínimos locais, ou até pontos de inflexão.
Passo 3
No enunciado, já nos deram a derivada primeira da função:
Para encontrar os pontos críticos, vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
Dividindo ambos os lados por -3 (que não afeta a igualdade):
Passo 4
Agora, resolvemos cada fator igualado a zero:
Então, os pontos críticos ocorrem em $ x = 3 $ e $ x = -1 $.
Passo 5
Para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $.
A derivada primeira é:
Derivando novamente:
Passo 6
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para $ x = 3 $:
Como $ f’’(3) < 0 $, isso indica que $ x = 3 $ é um ponto de máximo local.
Para $ x = -1 $:
Como $ f’’(-1) > 0 $, isso indica que $ x = -1 $ é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são $ x = 3 $ (máximo local) e $ x = -1 $ (mínimo local).