Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
f(x, y)=\ln \left(3 x^{2}+4 y^{2}-2 x+7\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os pontos críticos da função f(x,y)=\ln\left(3x^{2}+4y^{2}-2x+7\right) e classifique cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.”
Informações dadas e o que precisamos achar:
  • A função é f(x,y)=\ln\big(g(x,y)\big) com g(x,y)=3x^{2}+4y^{2}-2x+7.
  • Precisamos achar todos os pontos (x,y) onde o gradiente de f é nulo (pontos críticos).
  • Para cada ponto crítico, classificar usando o teste das segundas derivadas (Hessiana): máximo local, mínimo local ou sela.
  • Observação importante: a função logaritmo exige g(x,y)>0. Devemos verificar domínio e que os cálculos ocorrem em pontos do domínio.

Passo 2

Domínio e diferenciabilidade (por que isso importa):
  • O domínio de f é \{(x,y)\mid g(x,y)>0\}, porque o logaritmo só está definido para argumentos positivos.
  • A função g(x,y) é um polinômio (quadrática) e portanto C^\infty (infinitamente diferenciável) em \mathbb{R}^2. Onde g>0, a composição com \ln também é diferenciável.
  • Antes de buscar pontos críticos, é bom notar que g é um polinômio quadrático com termos positivos em x^2 e y^2, então seu mínimo é finito; verificaremos que o mínimo de g é positivo, logo o domínio contém um entorno aberto do crítico que encontrarmos.

Passo 3

Cálculo do gradiente de f usando a regra da cadeia:
  • Regra da cadeia para derivadas parciais: se f(x,y)=\ln\big(g(x,y)\big), então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial x},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial y}.
Aqui \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y} são as derivadas parciais de g.
  • Calculemos \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y}:
\frac{\partial g}{\partial x}=6x-2, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=8y.
  • Portanto o gradiente de f é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{6x-2}{g(x,y)},\;\frac{8y}{g(x,y)}\right).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos: resolver \nabla f(x,y)=\mathbf{0}.
  • As equações para pontos críticos são
\frac{6x-2}{g(x,y)}=0,\qquad \frac{8y}{g(x,y)}=0.
  • Como g(x,y)>0 no domínio, podemos multiplicar por g sem alterar as soluções; as equações equivalem a
6x-2=0,\qquad 8y=0.
  • Resolvendo:
6x-2=0 \implies x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, \qquad 8y=0 \implies y=0.
  • Assim existe exatamente um ponto crítico: \left(\dfrac{1}{3},0\right).
  • Verificação do domínio: calculemos g nesse ponto para garantir g>0:
g\!\left(\frac{1}{3},0\right)=3\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+4\cdot 0^{2}-2\cdot\frac{1}{3}+7 =\frac{3}{9}-\frac{2}{3}+7=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+7=7-\frac{1}{3}=\frac{20}{3}>0.
Logo o ponto está no domínio e a função é diferenciável ali.

Passo 5

Preparação para classificar: segunda derivadas (Hessiana) e o teste das segundas derivadas.
  • Em geral, para f=\ln(g) temos, usando a regra da cadeia e produto,
f_{xx}=\frac{g\,g_{xx}-g_x^{2}}{g^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{g\,g_{yy}-g_y^{2}}{g^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{g\,g_{xy}-g_x g_y}{g^{2}},
onde g_x,g_y,g_{xx},g_{yy},g_{xy} são derivadas parciais de g.
  • Para nosso g(x,y)=3x^{2}+4y^{2}-2x+7 já temos g_x=6x-2, g_y=8y. As segundas derivadas são constantes:
g_{xx}=6,\qquad g_{yy}=8,\qquad g_{xy}=0.

Passo 6

Avaliar as segundas derivadas de f no ponto crítico. Observação útil: no ponto crítico temos g_x=g_y=0, o que simplifica as fórmulas.
  • Substituindo g_x=0 e g_y=0 nas fórmulas,
f_{xx}=\frac{g\,g_{xx}}{g^{2}}=\frac{g_{xx}}{g},\qquad f_{yy}=\frac{g\,g_{yy}}{g^{2}}=\frac{g_{yy}}{g},\qquad f_{xy}=\frac{g\,g_{xy}}{g^{2}}=\frac{g_{xy}}{g}.
  • Avaliando em \left(\dfrac{1}{3},0\right), usamos g\!\left(\dfrac{1}{3},0\right)=\dfrac{20}{3} e g_{xx}=6, g_{yy}=8, g_{xy}=0:
f_{xx}\!\left(\tfrac{1}{3},0\right)=\frac{6}{20/3}=\frac{6\cdot 3}{20}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10},
f_{yy}\!\left(\tfrac{1}{3},0\right)=\frac{8}{20/3}=\frac{8\cdot 3}{20}=\frac{24}{20}=\frac{6}{5},
f_{xy}\!\left(\tfrac{1}{3},0\right)=\frac{0}{20/3}=0.
  • Portanto a matriz Hessiana em \left(\dfrac{1}{3},0\right) é
H_f\!\left(\tfrac{1}{3},0\right)= \begin{pmatrix} \dfrac{9}{10} & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{6}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Aplicar o teste das segundas derivadas (caso bidimensional) para classificar o ponto crítico:
  • Para uma função de duas variáveis, no ponto crítico calcule
D=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0, então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, então máximo local.
  • Se D<0, então ponto de sela.
  • Aqui, nos valores encontrados,
D=\frac{9}{10}\cdot\frac{6}{5}-0=\frac{54}{50}=\frac{27}{25}>0,
e
f_{xx}\!\left(\tfrac{1}{3},0\right)=\frac{9}{10}>0.
  • Conclusão: D>0 e f_{xx}>0 implicam que \left(\dfrac{1}{3},0\right) é um ponto de mínimo local.

Passo 8

Comentário final e intuição curta (útil para a prova):
  • Como \ln é função estritamente crescente, minimizar f=\ln(g) é equivalente a minimizar g. g é uma forma quadrática com termos 3x^{2} e 4y^{2} positivos, portanto é convexa e tem um único mínimo global que coincide com o ponto crítico calculado. Assim \left(\dfrac{1}{3},0\right) é na verdade mínimo global de f, mas para a resposta pedida basta dizer que é mínimo local (o teste já mostrou isso).

Resposta

\left(\dfrac{1}{3},0\right) — ponto de mínimo local.

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