Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine os pontos críticos da função
e classifique cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.”
Informações dadas e o que precisamos achar:
- A função é
com . - Precisamos achar todos os pontos
onde o gradiente de é nulo (pontos críticos). - Para cada ponto crítico, classificar usando o teste das segundas derivadas (Hessiana): máximo local, mínimo local ou sela.
- Observação importante: a função logaritmo exige
. Devemos verificar domínio e que os cálculos ocorrem em pontos do domínio.
Passo 2
Domínio e diferenciabilidade (por que isso importa):
- O domínio de
é , porque o logaritmo só está definido para argumentos positivos. - A função
é um polinômio (quadrática) e portanto (infinitamente diferenciável) em . Onde , a composição com também é diferenciável. - Antes de buscar pontos críticos, é bom notar que
é um polinômio quadrático com termos positivos em e , então seu mínimo é finito; verificaremos que o mínimo de é positivo, logo o domínio contém um entorno aberto do crítico que encontrarmos.
Passo 3
Cálculo do gradiente de
usando a regra da cadeia:
- Regra da cadeia para derivadas parciais: se
, então
Aqui
e
são as derivadas parciais de
.
- Calculemos
e :
- Portanto o gradiente de
é
Passo 4
Encontrar os pontos críticos: resolver
.
- As equações para pontos críticos são
- Como
no domínio, podemos multiplicar por sem alterar as soluções; as equações equivalem a
- Resolvendo:
- Assim existe exatamente um ponto crítico:
. - Verificação do domínio: calculemos
nesse ponto para garantir :
Logo o ponto está no domínio e a função é diferenciável ali.
Passo 5
Preparação para classificar: segunda derivadas (Hessiana) e o teste das segundas derivadas.
- Em geral, para
temos, usando a regra da cadeia e produto,
onde
são derivadas parciais de
.
- Para nosso
já temos , . As segundas derivadas são constantes:
Passo 6
Avaliar as segundas derivadas de
no ponto crítico. Observação útil: no ponto crítico temos
, o que simplifica as fórmulas.
- Substituindo
e nas fórmulas,
- Avaliando em
, usamos e , , :
- Portanto a matriz Hessiana em
é
Passo 7
Aplicar o teste das segundas derivadas (caso bidimensional) para classificar o ponto crítico:
- Para uma função de duas variáveis, no ponto crítico calcule
- Se
e , então mínimo local. - Se
e , então máximo local. - Se
, então ponto de sela. - Aqui, nos valores encontrados,
e
- Conclusão:
e implicam que é um ponto de mínimo local.
Passo 8
Comentário final e intuição curta (útil para a prova):
- Como
é função estritamente crescente, minimizar é equivalente a minimizar . é uma forma quadrática com termos e positivos, portanto é convexa e tem um único mínimo global que coincide com o ponto crítico calculado. Assim é na verdade mínimo global de , mas para a resposta pedida basta dizer que é mínimo local (o teste já mostrou isso).