4.8H Se
e
representam os co-senos diretores da normal exterior à superfície
, use o Teorema de Gauss e calcule as seguintes integrais de superfícies:
(a)
;
é a esfera
. [resp. 0 ]
(b)
;
é a fronteira do cubo
a. [resp.
]
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas integrais de superfície do tipo
onde
são os cossenos diretores da normal externa a
.
O Teorema de Gauss diz que, para a região limitada por
, temos
O Teorema de Gauss diz que, para a região
Vamos aplicar esse teorema em cada item.
Passo 2
Para o item (a) escolhemos
de modo que
Passo 3
Calculamos a divergência:
Como a região é a bola centrada na origem, por simetria
.
Logo o valor da integral de superfície é
Logo o valor da integral de superfície é
Passo 4
Para o item (b) note que
é igual a
com
Pelo Teorema de Gauss, integrará a divergência em
, o cubo
.
Passo 5
A divergência é
Assim a integral tripla é
Como
é produto de intervalos, separamos em três integrais fatoráveis. Por exemplo,
e os outros dois termos idênticos também valem
. Somando os três dá
Resposta
(a)
(b)
(b)