4.8H Se cos alpha, cos beta e cos gamma representam os co-senos diretores da normal exterior à superfície S, use o Teorema de Gauss e calcule as seguintes integrais de superfícies:
(a) integral duplaS(x y cos alpha+y z cos beta+x z cos gamma) d S; S é a esfera x^2+y^2+z^2=R^2. [resp. 0 ]
(b) integral duplaS x^2 y^2 z^2(cos alpha+cos beta+cos gamma) d S; S é a fronteira do cubo 0 <= x <= a, 0 <= y <= a, 0 <= z <= a. [resp. a^8 / 3 ]

Passo 1

O enunciado pede duas integrais de superfície do tipo
integral duplaSl(Pcosalpha + Qcosbeta + Rcosgammar),dS
onde cosalpha,cosbeta,cosgamma são os cossenos diretores da normal externa a S.
O Teorema de Gauss diz que, para a região V limitada por S, temos
integral duplaSl(Pcosalpha + Qcosbeta + Rcosgammar),dS =integral triplaVl(partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial zr),dV
Vamos aplicar esse teorema em cada item.

Passo 2

Para o item (a) escolhemos
P(x,y,z)=xy, Q(x,y,z)=yz, R(x,y,z)=xz,
de modo que
integral duplaS(xycosalpha + yzcosbeta + xzcosgamma),dS =integral triplax^2+y^2+z^2<= R^2l(partialxP+partialyQ+partialzRr),dV

Passo 3

Calculamos a divergência:
partialxP = y, partialyQ = z, partialzR = x Longrightarrow partialxP+partialyQ+partialzR = x+y+z
Como a região é a bola centrada na origem, por simetria
integral triplaVx,dV=integral triplaVy,dV=integral triplaVz,dV=0.
Logo o valor da integral de superfície é
0

Passo 4

Para o item (b) note que
integral duplaSx^2y^2z^2(cosalpha+cosbeta+cosgamma),dS
é igual a
integral duplaSl(Pcosalpha + Qcosbeta + Rcosgammar),dS
com
P=Q=R=x^2y^2z^2
Pelo Teorema de Gauss, integrará a divergência em V, o cubo 0<= x,y,z<= a.

Passo 5

A divergência é
partialxP+partialyQ+partialzR =2x,y^2z^2 + 2x^2,y,z^2 + 2x^2,y^2,z
Assim a integral tripla é
integral triplaV(2x,y^2z^2 + 2x^2y,z^2 + 2x^2y^2z),dV
Como V é produto de intervalos, separamos em três integrais fatoráveis. Por exemplo,
2integral0^a x,dxintegral0^a y^2,dyintegral0^a z^2,dz =2l(tfraca^22r)l(tfraca^33r)l(tfraca^33r) =a^89,
e os outros dois termos idênticos também valem tfraca^89. Somando os três dá
3cdota^89=a^83

Resposta

(a) 0
(b) a^83

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